MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 17056
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2 fvex 6158 . . . 4 (ODual‘𝑂) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . 3 𝐷 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
5 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
61, 5odubas 17054 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
76a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
8 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
91, 8oduleval 17052 . . 3 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
109a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (le‘𝑂) = (le‘𝐷))
115, 8posref 16872 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
12 vex 3189 . . . 4 𝑎 ∈ V
1312, 12brcnv 5265 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑎)
1411, 13sylibr 224 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
15 vex 3189 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1612, 15brcnv 5265 . . . 4 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
1715, 12brcnv 5265 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
1816, 17anbi12ci 733 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
195, 8posasymb 16873 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
2019biimpd 219 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
2118, 20syl5bi 232 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
22 3anrev 1047 . . . 4 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
235, 8postr 16874 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
2422, 23sylan2b 492 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
25 vex 3189 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2615, 25brcnv 5265 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
2716, 26anbi12ci 733 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
2812, 25brcnv 5265 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑎)
2924, 27, 283imtr4g 285 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎(le‘𝑂)𝑐))
304, 7, 10, 14, 21, 29isposd 16876 1 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  ccnv 5073  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  ODualcodu 17049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ple 15882  df-preset 16849  df-poset 16867  df-odu 17050
This theorem is referenced by:  oduposb  17057  posglbd  17071  odutos  29445
  Copyright terms: Public domain W3C validator