MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odupos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odupos 17733
Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odupos (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)

Proof of Theorem odupos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21fvexi 6677 . . 3 𝐷 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ V)
4 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
51, 4odubas 17731 . . 3 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
65a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷))
7 eqid 2818 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
81, 7oduleval 17729 . . 3 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
98a1i 11 . 2 (𝑂 ∈ Poset → (le‘𝑂) = (le‘𝐷))
104, 7posref 17549 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
11 vex 3495 . . . 4 𝑎 ∈ V
1211, 11brcnv 5746 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑎)
1310, 12sylibr 235 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)) → 𝑎(le‘𝑂)𝑎)
14 vex 3495 . . . . 5 𝑏 ∈ V
1511, 14brcnv 5746 . . . 4 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
1614, 11brcnv 5746 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
1715, 16anbi12ci 627 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
184, 7posasymb 17550 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) ↔ 𝑎 = 𝑏))
1918biimpd 230 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
2017, 19syl5bi 243 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂)) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
21 3anrev 1093 . . . 4 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂)) ↔ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂)))
224, 7postr 17551 . . . 4 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
2321, 22sylan2b 593 . . 3 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎) → 𝑐(le‘𝑂)𝑎))
24 vex 3495 . . . . 5 𝑐 ∈ V
2514, 24brcnv 5746 . . . 4 (𝑏(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑏)
2615, 25anbi12ci 627 . . 3 ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) ↔ (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎))
2711, 24brcnv 5746 . . 3 (𝑎(le‘𝑂)𝑐𝑐(le‘𝑂)𝑎)
2823, 26, 273imtr4g 297 . 2 ((𝑂 ∈ Poset ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑂))) → ((𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐) → 𝑎(le‘𝑂)𝑐))
293, 6, 9, 13, 20, 28isposd 17553 1 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  ccnv 5547  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  Posetcpo 17538  ODualcodu 17726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ple 16573  df-proset 17526  df-poset 17544  df-odu 17727
This theorem is referenced by:  oduposb  17734  posglbd  17748  odutos  30577
  Copyright terms: Public domain W3C validator