Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduposb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduposb 17183
 Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduposb (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . 3 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21odupos 17182 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3 eqid 2651 . . . 4 (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
43odupos 17182 . . 3 (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5 fvexd 6241 . . . 4 (𝑂𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
6 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
7 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
81, 7odubas 17180 . . . . . 6 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
93, 8odubas 17180 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
109a1i 11 . . . 4 (𝑂𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
11 eqidd 2652 . . . 4 (𝑂𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
12 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
131, 12oduleval 17178 . . . . . . . . 9 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
143, 13oduleval 17178 . . . . . . . 8 (le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
1514eqcomi 2660 . . . . . . 7 (le‘(ODual‘𝐷)) = (le‘𝑂)
1615breqi 4691 . . . . . 6 (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏)
17 vex 3234 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
18 vex 3234 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
1917, 18brcnv 5337 . . . . . 6 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
2018, 17brcnv 5337 . . . . . 6 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
2116, 19, 203bitri 286 . . . . 5 (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏)
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏))
235, 6, 10, 11, 22pospropd 17181 . . 3 (𝑂𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
244, 23syl5ib 234 . 2 (𝑂𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
252, 24impbid2 216 1 (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  ◡ccnv 5142  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  ODualcodu 17175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ple 16008  df-preset 16975  df-poset 16993  df-odu 17176 This theorem is referenced by:  odulatb  17190  oduclatb  17191
 Copyright terms: Public domain W3C validator