Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odz2prm2pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odz2prm2pw 41983
Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
odz2prm2pw (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3873 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 2nn 11375 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 11499 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6 peano2nn 11222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
76nnnn0d 11541 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 13223 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
93, 8nnexpcld 13222 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
109nnzd 11671 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11 modprm1div 15702 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
121, 10, 11syl2anr 496 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13 prmnn 15588 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16 2z 11599 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18 eldifsn 4460 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
2019necomd 2985 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
2118, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22 2prm 15605 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
23 prmrp 15624 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2422, 1, 23sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2521, 24mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2625adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2715, 17, 263jca 1123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
288adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29 odzdvds 15700 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3027, 28, 29syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3112, 30bitrd 268 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32 nnnn0 11489 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
335, 32nn0expcld 13223 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
343, 33nnexpcld 13222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
3534nnzd 11671 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36 modprm1div 15702 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
371, 35, 36syl2anr 496 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
3833adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39 odzdvds 15700 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4027, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4137, 40bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4241necon3abid 2966 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43 odzcl 15698 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
4427, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
457adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46 dvdsprmpweqle 15790 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
4722, 44, 45, 46mp3an2i 1576 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48 breq1 4805 . . . . . . . . . . . . 13 (((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
5049notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53 nn0re 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
546nnred 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56 leloe 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
5753, 55, 56syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59 nn0z 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62 nnz 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66 zleltp1 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6759, 63, 66syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6867biimpar 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛𝑁)
69 eluz2 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑁))
7061, 65, 68, 69syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
71 dvdsexp 15249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7216, 58, 70, 71mp3an2ani 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7372pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
7473expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76752a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7774, 76jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7957, 78sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8079imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8281imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
8352, 82eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
8483ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8550, 84sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8685expl 649 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8786rexlimdva 3167 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8847, 87syld 47 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8988com23 86 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9042, 89sylbid 230 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9190com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9231, 91sylbid 230 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9392com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9493imp32 448 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wrex 3049  cdif 3710  {csn 4319   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  cr 10125  1c1 10127   + caddc 10129   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  cn 11210  2c2 11260  0cn0 11482  cz 11567  cuz 11877   mod cmo 12860  cexp 13052  cdvds 15180   gcd cgcd 15416  cprime 15585  odcodz 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-dvds 15181  df-gcd 15417  df-prm 15586  df-odz 15670  df-phi 15671  df-pc 15742
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator