Theorem oe0 7466

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oe0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)

Proof of Theorem oe0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6534	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = (∅ ↑𝑜 ∅))
2		oe0m0 7464	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜
3	1, 2	syl6eq 2659	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
4	3	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
5		0elon 5681	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
6		oevn0 7459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·𝑜 𝐴)), 1𝑜)‘∅))
7	5, 6	mpanl2 712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·𝑜 𝐴)), 1𝑜)‘∅))
8		1on 7431	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9	8	elexi 3185	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
10	9	rdg0 7381	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·𝑜 𝐴)), 1𝑜)‘∅) = 1𝑜
11	7, 10	syl6eq 2659	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
12	11	adantll 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
13	4, 12	oe0lem 7457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
14	13	anidms 674	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172  ∅c0 3873   ↦ cmpt 4637  Oncon0 5626  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  reccrdg 7369  1_𝑜c1o 7417   ·_𝑜 comu 7422   ↑_𝑜 coe 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oexp 7430

This theorem is referenced by:  oecl  7481  oe1  7488  oe1m  7489  oen0  7530  oewordri  7536  oeoalem  7540  oeoelem  7542  oeoe  7543  oeeulem  7545  nnecl  7557  oaabs2  7589  cantnff  8431