Theorem oe0lem 7538

Description: A helper lemma for oe0 7547 and others. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
oe0lem.2	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
2	1	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
4		on0eln0 5739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)
7	6	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝜓))
8	5, 7	sylbird 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝜓))
9	3, 8	pm2.61dne 2876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3891  Oncon0 5682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686

This theorem is referenced by:  oe0  7547  oev2  7548  oesuclem  7550  oecl  7562  odi  7604  oewordri  7617  oelim2  7620  oeoa  7622  oeoe  7624