Theorem oe0lem 8130

Description: A helper lemma for oe0 8139 and others. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
oe0lem.2	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
2	1	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
3	2	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
4		on0eln0 6239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)
7	6	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝜓))
8	5, 7	sylbird 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝜓))
9	3, 8	pm2.61dne 3101	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∅c0 4289  Oncon0 6184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-on 6188

This theorem is referenced by:  oe0  8139  oev2  8140  oesuclem  8142  oecl  8154  odi  8197  oewordri  8210  oelim2  8213  oeoa  8215  oeoe  8217