MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m0 7585
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 5766 . 2 ∅ ∈ On
2 oe0m 7583 . . 3 (∅ ∈ On → (∅ ↑𝑜 ∅) = (1𝑜 ∖ ∅))
3 dif0 3941 . . 3 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
42, 3syl6eq 2670 . 2 (∅ ∈ On → (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
51, 4ax-mp 5 1 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  cdif 3564  c0 3907  Oncon0 5711  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538  𝑜 coe 7544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oexp 7551
This theorem is referenced by:  oe0  7587  oev2  7588  oesuclem  7590  oecl  7602  oeoa  7662  oeoe  7664
  Copyright terms: Public domain W3C validator