MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m0 7460
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 5677 . 2 ∅ ∈ On
2 oe0m 7458 . . 3 (∅ ∈ On → (∅ ↑𝑜 ∅) = (1𝑜 ∖ ∅))
3 dif0 3899 . . 3 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
42, 3syl6eq 2655 . 2 (∅ ∈ On → (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜)
51, 4ax-mp 5 1 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3532  c0 3869  Oncon0 5622  (class class class)co 6523  1𝑜c1o 7413  𝑜 coe 7419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oexp 7426
This theorem is referenced by:  oe0  7462  oev2  7463  oesuclem  7465  oecl  7477  oeoa  7537  oeoe  7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator