MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m1 7460
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe0m1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1
StepHypRef Expression
1 eloni 5631 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordgt0ge1 7436 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴))
4 oe0m 7457 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ↑𝑜 𝐴) = (1𝑜𝐴))
54eqeq1d 2606 . . 3 (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅ ↔ (1𝑜𝐴) = ∅))
6 ssdif0 3890 . . 3 (1𝑜𝐴 ↔ (1𝑜𝐴) = ∅)
75, 6syl6rbbr 277 . 2 (𝐴 ∈ On → (1𝑜𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))
83, 7bitrd 266 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3531  wss 3534  c0 3868  Ord word 5620  Oncon0 5621  (class class class)co 6522  1𝑜c1o 7412  𝑜 coe 7418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fv 5793  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oexp 7425
This theorem is referenced by:  oev2  7462  oesuclem  7464  oecl  7476  oewordri  7531  oelim2  7534  oeoa  7536  oeoe  7538  cantnf  8445
  Copyright terms: Public domain W3C validator