MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe1 7569
Description: Ordinal exponentiation with an exponent of 1. (Contributed by NM, 2-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe1 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 1𝑜) = 𝐴)

Proof of Theorem oe1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7505 . . . 4 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 6615 . . 3 (𝐴𝑜 1𝑜) = (𝐴𝑜 suc ∅)
3 peano1 7032 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onesuc 7555 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴𝑜 suc ∅) = ((𝐴𝑜 ∅) ·𝑜 𝐴))
53, 4mpan2 706 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 suc ∅) = ((𝐴𝑜 ∅) ·𝑜 𝐴))
62, 5syl5eq 2667 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 1𝑜) = ((𝐴𝑜 ∅) ·𝑜 𝐴))
7 oe0 7547 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 ∅) = 1𝑜)
87oveq1d 6619 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝐴𝑜 ∅) ·𝑜 𝐴) = (1𝑜 ·𝑜 𝐴))
9 om1r 7568 . 2 (𝐴 ∈ On → (1𝑜 ·𝑜 𝐴) = 𝐴)
106, 8, 93eqtrd 2659 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 1𝑜) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891  Oncon0 5682  suc csuc 5684  (class class class)co 6604  ωcom 7012  1𝑜c1o 7498   ·𝑜 comu 7503  𝑜 coe 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-oexp 7511
This theorem is referenced by:  omabs  7672  cnfcom3lem  8544  infxpenc2  8789
  Copyright terms: Public domain W3C validator