MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapso 8531
Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 8410). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapso (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
2 eloni 5697 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordwe 5700 . . . . 5 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4 weso 5070 . . . . 5 ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
51, 2, 3, 44syl 19 . . . 4 (𝜑 → E Or 𝐵)
6 cnvso 5638 . . . 4 ( E Or 𝐵 E Or 𝐵)
75, 6sylib 208 . . 3 (𝜑 E Or 𝐵)
8 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 eloni 5697 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10 ordwe 5700 . . . 4 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11 weso 5070 . . . 4 ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝜑 → E Or 𝐴)
13 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
14 fvex 6163 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑧) ∈ V
1514epelc 4992 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧))
16 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
17 vex 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1816, 17brcnv 5270 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 E 𝑧𝑧 E 𝑤)
19 epel 4993 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑤𝑧𝑤)
2018, 19bitri 264 . . . . . . . . . 10 (𝑤 E 𝑧𝑧𝑤)
2120imbi1i 339 . . . . . . . . 9 ((𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2221ralbii 2975 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2315, 22anbi12i 732 . . . . . . 7 (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2423rexbii 3035 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2524opabbii 4684 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2613, 25eqtr4i 2646 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
27 breq1 4621 . . . . 5 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
2827cbvrabv 3188 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
2926, 28wemapso2 8410 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
301, 7, 12, 29syl3anc 1323 . 2 (𝜑𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32 eqid 2621 . . . . 5 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3332, 8, 1cantnfdm 8513 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
3431, 33syl5eq 2667 . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35 soeq2 5020 . . 3 (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3730, 36mpbird 247 1 (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  c0 3896   class class class wbr 4618  {copab 4677   E cep 4988   Or wor 4999   We wwe 5037  ccnv 5078  dom cdm 5079  Ord word 5686  Oncon0 5687  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑚 cmap 7809   finSupp cfsupp 8227   CNF ccnf 8510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-seqom 7495  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-cnf 8511
This theorem is referenced by:  cantnf  8542
  Copyright terms: Public domain W3C validator