MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapvali 8754
Description: If 𝐹 < 𝐺, then there is some 𝑧 witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression 𝑋 that also witnesses 𝐹 < 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
oemapvali (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
2 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
3 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
5 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
6 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
7 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8753 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑇𝐺 ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
10 ssrab2 3828 . . . 4 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵
11 oemapvali.x . . . . 5 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
124adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ∈ On)
13 onss 7155 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ⊆ On)
1510, 14syl5ss 3755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On)
162, 3, 4cantnfs 8736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
177, 16mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1817simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 finSupp ∅)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺 finSupp ∅)
2043ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐵 ∈ On)
21 simp2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐𝐵)
2217simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
23 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐴𝐺 Fn 𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
25243ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐺 Fn 𝐵)
26 ne0i 4064 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
27263ad2ant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
28 fvn0elsupp 7479 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺𝑐) ≠ ∅)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
3029rabssdv 3823 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
32 fsuppimp 8446 . . . . . . . 8 (𝐺 finSupp ∅ → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin))
33 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅)) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
3433ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) ∈ Fin → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3534adantl 473 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin) → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp ∅ → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3719, 31, 36sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
38 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝐵)
39 simprrl 823 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧))
40 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑧))
41 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑧))
4240, 41eleq12d 2833 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4342elrab 3504 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4438, 39, 43sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
45 ne0i 4064 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
47 ordunifi 8375 . . . . . 6 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4815, 37, 46, 47syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4911, 48syl5eqel 2843 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
5010, 49sseldi 3742 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝐵)
51 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
52 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
5351, 52eleq12d 2833 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
54 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑥))
55 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑥))
5654, 55eleq12d 2833 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)))
5756cbvrabv 3339 . . . . . 6 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} = {𝑥𝐵 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)}
5853, 57elrab2 3507 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
5949, 58sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
6059simprd 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
61 simprrr 824 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
623adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐴 ∈ On)
6322adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺:𝐵𝐴)
6463, 50ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐴)
65 onelon 5909 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑋) ∈ On)
6662, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ On)
67 eloni 5894 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑋) ∈ On → Ord (𝐺𝑋))
68 ordirr 5902 . . . . . . . . . 10 (Ord (𝐺𝑋) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
70 nelneq 2863 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋)) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
7160, 69, 70syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
72 eleq2 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → (𝑧𝑤𝑧𝑋))
73 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑋))
74 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑋))
7573, 74eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → ((𝐹𝑤) = (𝐺𝑤) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7672, 75imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑋 → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7776rspccv 3446 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) → (𝑋𝐵 → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7861, 50, 77sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7971, 78mtod 189 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ 𝑧𝑋)
80 ssexg 4956 . . . . . . . . . . 11 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵𝐵 ∈ On) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
8110, 12, 80sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
82 ssonuni 7151 . . . . . . . . . 10 ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On))
8381, 15, 82sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On)
8411, 83syl5eqel 2843 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ On)
85 onelon 5909 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ On)
8612, 38, 85syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ On)
87 ontri1 5918 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8884, 86, 87syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8979, 88mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝑧)
90 elssuni 4619 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
9190, 11syl6sseqr 3793 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧𝑋)
9244, 91syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝑋)
9389, 92eqssd 3761 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 = 𝑧)
94 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝑤𝑧𝑤))
9594imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9695ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9793, 96syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9861, 97mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
9950, 60, 983jca 1123 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
1009, 99rexlimddv 3173 1 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   cuni 4588   class class class wbr 4804  {copab 4864  dom cdm 5266  Ord word 5883  Oncon0 5884  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440   CNF ccnf 8731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712  df-1o 7729  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-cnf 8732
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8755  cantnflem1b  8756  cantnflem1c  8757  cantnflem1d  8758  cantnflem1  8759
  Copyright terms: Public domain W3C validator