MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapvali 8525
Description: If 𝐹 < 𝐺, then there is some 𝑧 witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression 𝑋 that also witnesses 𝐹 < 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
oemapvali (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
2 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
3 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
5 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
6 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
7 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8524 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑇𝐺 ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
10 ssrab2 3666 . . . 4 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵
11 oemapvali.x . . . . 5 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
124adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ∈ On)
13 onss 6937 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ⊆ On)
1510, 14syl5ss 3594 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On)
162, 3, 4cantnfs 8507 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
177, 16mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1817simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 finSupp ∅)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺 finSupp ∅)
2043ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐵 ∈ On)
21 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐𝐵)
2217simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
23 ffn 6002 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐴𝐺 Fn 𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
25243ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐺 Fn 𝐵)
26 ne0i 3897 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
27263ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
28 fvn0elsupp 7256 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺𝑐) ≠ ∅)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
3029rabssdv 3661 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
32 fsuppimp 8225 . . . . . . . 8 (𝐺 finSupp ∅ → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin))
33 ssfi 8124 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅)) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
3433ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) ∈ Fin → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin) → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp ∅ → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3719, 31, 36sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
38 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝐵)
39 simprrl 803 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧))
40 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑧))
41 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑧))
4240, 41eleq12d 2692 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4342elrab 3346 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4438, 39, 43sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
45 ne0i 3897 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
47 ordunifi 8154 . . . . . 6 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4815, 37, 46, 47syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4911, 48syl5eqel 2702 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
5010, 49sseldi 3581 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝐵)
51 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
52 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
5351, 52eleq12d 2692 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
54 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑥))
55 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑥))
5654, 55eleq12d 2692 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)))
5756cbvrabv 3185 . . . . . 6 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} = {𝑥𝐵 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)}
5853, 57elrab2 3348 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
5949, 58sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
6059simprd 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
61 simprrr 804 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
623adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐴 ∈ On)
6322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺:𝐵𝐴)
6463, 50ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐴)
65 onelon 5707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑋) ∈ On)
6662, 64, 65syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ On)
67 eloni 5692 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑋) ∈ On → Ord (𝐺𝑋))
68 ordirr 5700 . . . . . . . . . 10 (Ord (𝐺𝑋) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
70 nelneq 2722 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋)) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
7160, 69, 70syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
72 eleq2 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → (𝑧𝑤𝑧𝑋))
73 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑋))
74 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑋))
7573, 74eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → ((𝐹𝑤) = (𝐺𝑤) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7672, 75imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑋 → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7776rspccv 3292 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) → (𝑋𝐵 → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7861, 50, 77sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7971, 78mtod 189 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ 𝑧𝑋)
80 ssexg 4764 . . . . . . . . . . 11 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵𝐵 ∈ On) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
8110, 12, 80sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
82 ssonuni 6933 . . . . . . . . . 10 ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On))
8381, 15, 82sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On)
8411, 83syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ On)
85 onelon 5707 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ On)
8612, 38, 85syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ On)
87 ontri1 5716 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8884, 86, 87syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8979, 88mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝑧)
90 elssuni 4433 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
9190, 11syl6sseqr 3631 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧𝑋)
9244, 91syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝑋)
9389, 92eqssd 3600 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 = 𝑧)
94 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝑤𝑧𝑤))
9594imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9695ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9793, 96syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9861, 97mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
9950, 60, 983jca 1240 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
1009, 99rexlimddv 3028 1 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   cuni 4402   class class class wbr 4613  {copab 4672  dom cdm 5074  Ord word 5681  Oncon0 5682  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219   CNF ccnf 8502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seqom 7488  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-cnf 8503
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8526  cantnflem1b  8527  cantnflem1c  8528  cantnflem1d  8529  cantnflem1  8530
  Copyright terms: Public domain W3C validator