MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofccat 13642
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5 (𝜑 → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
ofccat.6 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
ofccat (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13249 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑆)
3 ffn 6002 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶𝑆𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
6 wrdf 13249 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Word 𝑇𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇)
7 ffn 6002 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺)))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺)))
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
109oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(#‘𝐸)) = (0..^(#‘𝐺)))
1110fneq2d 5940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐺))))
128, 11mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)))
13 ovex 6632 . . . . . . . . . . 11 (0..^(#‘𝐸)) ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(#‘𝐸)) ∈ V)
15 inidm 3800 . . . . . . . . . 10 ((0..^(#‘𝐸)) ∩ (0..^(#‘𝐸))) = (0..^(#‘𝐸))
164, 12, 14, 14, 15offn 6861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(#‘𝐸)))
17 hashfn 13104 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(#‘𝐸)) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘(0..^(#‘𝐸))))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘(0..^(#‘𝐸))))
19 wrdfin 13262 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸 ∈ Fin)
20 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
211, 19, 203syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
22 hashfzo0 13157 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐸) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐸))) = (#‘𝐸))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐸))) = (#‘𝐸))
2418, 23eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
2625oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(#‘𝐸)))
2726eleq2d 2684 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸))))
284ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)))
2912ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸)))
3013a1i 11 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘𝐸)) ∈ V)
3127biimpa 501 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))
32 fnfvof 6864 . . . . 5 (((𝐸 Fn (0..^(#‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(#‘𝐸))) ∧ ((0..^(#‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3328, 29, 30, 31, 32syl22anc 1324 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3424ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (#‘𝐸))
3534oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (#‘𝐸)))
3635fveq2d 6152 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))))
37 ofccat.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
38 wrdf 13249 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆)
39 ffn 6002 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
4140ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
42 ofccat.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
43 wrdf 13249 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word 𝑇𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶𝑇)
44 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶𝑇𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻)))
46 ofccat.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘𝐻))
4746oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^(#‘𝐻)))
4847fneq2d 5940 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐻))))
4945, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)))
5049ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹)))
51 ovex 6632 . . . . . . 7 (0..^(#‘𝐹)) ∈ V
5251a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘𝐹)) ∈ V)
53 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))))
54 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))
5526adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(#‘𝐸)))
5654, 55neleqtrd 2719 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)))
5721ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐸) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11424 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐸) ∈ ℤ)
59 wrdfin 13262 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
60 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6137, 59, 603syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6261ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
6362nn0zd 11424 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
64 fzocatel 12472 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸))) ∧ ((#‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
6553, 56, 58, 63, 64syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
66 fnfvof 6864 . . . . . 6 (((𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(#‘𝐹))) ∧ ((0..^(#‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (#‘𝐸)) ∈ (0..^(#‘𝐹)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6741, 50, 52, 65, 66syl22anc 1324 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6836, 67eqtrd 2655 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
6927, 33, 68ifbieq12d2 4091 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
7069mpteq2dva 4704 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
71 ovex 6632 . . . 4 (𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V
72 ovex 6632 . . . 4 (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V
73 ccatfval 13297 . . . 4 (((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
7471, 72, 73mp2an 707 . . 3 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))))
7551a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) ∈ V)
76 inidm 3800 . . . . . . . . 9 ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^(#‘𝐹))) = (0..^(#‘𝐹))
7740, 49, 75, 75, 76offn 6861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(#‘𝐹)))
78 hashfn 13104 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(#‘𝐹)) → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘(0..^(#‘𝐹))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘(0..^(#‘𝐹))))
80 hashfzo0 13157 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
8161, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
8279, 81eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (#‘𝐹))
8324, 82oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻))) = ((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))
8483oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) = (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))))
8584mpteq1d 4698 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (#‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
8674, 85syl5eq 2667 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (#‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
87 ovex 6632 . . . . . 6 (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∈ V
8887a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ∈ V)
89 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐸𝑖) ∈ V
90 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))) ∈ V
9189, 90ifex 4128 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) ∈ V)
93 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐺𝑖) ∈ V
94 fvex 6158 . . . . . . 7 (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))) ∈ V
9593, 94ifex 4128 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))) ∈ V
9695a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))) ∈ V)
97 ccatfval 13297 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
981, 37, 97syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
99 ccatfval 13297 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Word 𝑇𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
1005, 42, 99syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
1019, 46oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐸) + (#‘𝐹)) = ((#‘𝐺) + (#‘𝐻)))
102101oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) = (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))))
103102mpteq1d 4698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐺) + (#‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
104100, 103eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
10588, 92, 96, 98, 104offval2 6867 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))))
1069adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (#‘𝐸) = (#‘𝐺))
107106oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (0..^(#‘𝐸)) = (0..^(#‘𝐺)))
108107eleq2d 2684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺))))
109106oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝑖 − (#‘𝐸)) = (𝑖 − (#‘𝐺)))
110109fveq2d 6152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))
111108, 110ifbieq2d 4083 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))
112111oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺))))))
113112mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐺)))))))
114105, 113eqtr4d 2658 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
115 ovif12 6692 . . . 4 (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))
116115mpteq2i 4701 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸))))))
117114, 116syl6eq 2671 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐸) + (#‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (#‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (#‘𝐸)))))))
11870, 86, 1173eqtr4rd 2666 1 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  ifcif 4058  cmpt 4673   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  0cc0 9880   + caddc 9883  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240
This theorem is referenced by:  ofs2  13644  ofcccat  30400
  Copyright terms: Public domain W3C validator