Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 31712
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3 (𝜑𝐾𝑇)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
2 ofcccat.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
3 ofcccat.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝑇)
4 fconst6g 6561 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5 iswrdi 13853 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7 fconst6g 6561 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8 iswrdi 13853 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10 fzofi 13330 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11 snfi 8582 . . . . 5 {𝐾} ∈ Fin
12 hashxp 13783 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
1310, 11, 12mp2an 688 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14 lencl 13871 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
15 hashfzo0 13779 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
161, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
17 hashsng 13718 . . . . . . 7 (𝐾𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1916, 18oveq12d 7163 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
201, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2221mulid1d 10646 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
2319, 22eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
2413, 23syl5req 2866 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
25 fzofi 13330 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
26 hashxp 13783 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
2725, 11, 26mp2an 688 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
28 lencl 13871 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
29 hashfzo0 13779 . . . . . . 7 ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
302, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3130, 18oveq12d 7163 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
322, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
3433mulid1d 10646 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
3531, 34eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
3627, 35syl5req 2866 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
371, 2, 6, 9, 24, 36ofccat 14317 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
38 ccatcl 13914 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
391, 2, 38syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
40 wrdf 13854 . . . . 5 ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
42 ovexd 7180 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
4341, 42, 3ofcof 31265 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
44 eqid 2818 . . . . 5 ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
45 ccatlen 13915 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
461, 2, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
4746oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
4847xpeq1d 5577 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
49 eqid 2818 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
50 eqid 2818 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
5149, 50, 44, 3, 20, 32ccatmulgnn0dir 31711 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
5244, 48, 513eqtr4a 2879 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
5352oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
5443, 53eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
55 wrdf 13854 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
561, 55syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
57 ovexd 7180 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
5856, 57, 3ofcof 31265 . . 3 (𝜑 → (𝐹f/c 𝑅𝐾) = (𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
59 wrdf 13854 . . . . 5 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
602, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
61 ovexd 7180 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ V)
6260, 61, 3ofcof 31265 . . 3 (𝜑 → (𝐺f/c 𝑅𝐾) = (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
6358, 62oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)) = ((𝐹f 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺f 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
6437, 54, 633eqtr4d 2863 1 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘f/c 𝑅𝐾) = ((𝐹f/c 𝑅𝐾) ++ (𝐺f/c 𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  {csn 4557   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  0cn0 11885  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849   ++ cconcat 13910  f/c cofc 31253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-ofc 31254
This theorem is referenced by:  ofcs2  31714
  Copyright terms: Public domain W3C validator