Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 30950
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3 (𝜑𝐾𝑇)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
2 ofcccat.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
3 ofcccat.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝑇)
4 fconst6g 6255 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5 iswrdi 13515 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7 fconst6g 6255 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8 iswrdi 13515 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10 fzofi 12987 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11 snfi 8205 . . . . 5 {𝐾} ∈ Fin
12 hashxp 13433 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
1310, 11, 12mp2an 710 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14 wrdfin 13529 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
15 hashcl 13359 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
161, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
17 hashfzo0 13429 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
19 hashsng 13371 . . . . . . 7 (𝐾𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
2118, 20oveq12d 6832 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
2216nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2322mulid1d 10269 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
2421, 23eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
2513, 24syl5req 2807 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
26 fzofi 12987 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
27 hashxp 13433 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
2826, 11, 27mp2an 710 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
29 wrdfin 13529 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Fin)
30 hashcl 13359 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Fin → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
32 hashfzo0 13429 . . . . . . 7 ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3433, 20oveq12d 6832 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
3531nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
3635mulid1d 10269 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
3734, 36eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
3828, 37syl5req 2807 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
391, 2, 6, 9, 25, 38ofccat 13929 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
40 ccatcl 13566 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
411, 2, 40syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
42 wrdf 13516 . . . . 5 ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
44 ovexd 6844 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
4543, 44, 3ofcof 30499 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
46 ccatlen 13567 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
471, 2, 46syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
4847oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
4948xpeq1d 5295 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
50 eqid 2760 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
51 eqid 2760 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
52 eqid 2760 . . . . . 6 ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
5350, 51, 52, 3, 16, 31ccatmulgnn0dir 30949 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
5449, 53eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
5554oveq2d 6830 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
5645, 55eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
57 wrdf 13516 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
581, 57syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
5910a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
6058, 59, 3ofcof 30499 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
61 wrdf 13516 . . . . 5 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
622, 61syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
6326a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin)
6462, 63, 3ofcof 30499 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
6560, 64oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
6639, 56, 653eqtr4d 2804 1 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321   × cxp 5264  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  Fincfn 8123  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  0cn0 11504  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  𝑓/𝑐cofc 30487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-ofc 30488
This theorem is referenced by:  ofcs2  30952
  Copyright terms: Public domain W3C validator