Theorem ofcccat 30950

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofcccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ofcccat	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺∘𝑓/𝑐𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofcccat.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
2		ofcccat.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑆)
3		ofcccat.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑇)
4		fconst6g 6255	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5		iswrdi 13515	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7		fconst6g 6255	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8		iswrdi 13515	. . . 4 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10		fzofi 12987	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11		snfi 8205	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
12		hashxp 13433	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
13	10, 11, 12	mp2an 710	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14		wrdfin 13529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 ∈ Fin)
15		hashcl 13359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
16	1, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
17		hashfzo0 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
19		hashsng 13371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
21	18, 20	oveq12d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
22	16	nn0cnd 11565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
23	22	mulid1d 10269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
24	21, 23	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
25	13, 24	syl5req 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
26		fzofi 12987	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
27		hashxp 13433	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
28	26, 11, 27	mp2an 710	. . . 4 ⊢ (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
29		wrdfin 13529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺 ∈ Fin)
30		hashcl 13359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Fin → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
31	2, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		hashfzo0 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
34	33, 20	oveq12d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
35	31	nn0cnd 11565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
36	35	mulid1d 10269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
37	34, 36	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
38	28, 37	syl5req 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
39	1, 2, 6, 9, 25, 38	ofccat 13929	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
40		ccatcl 13566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
41	1, 2, 40	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
42		wrdf 13516	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
44		ovexd 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
45	43, 44, 3	ofcof 30499	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
46		ccatlen 13567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
47	1, 2, 46	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
48	47	oveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
49	48	xpeq1d 5295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
50		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
51		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
52		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
53	50, 51, 52, 3, 16, 31	ccatmulgnn0dir 30949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
54	49, 53	eqtr4d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
55	54	oveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
56	45, 55	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
57		wrdf 13516	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
58	1, 57	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
59	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
60	58, 59, 3	ofcof 30499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐹 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
61		wrdf 13516	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑆 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
62	2, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
63	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin)
64	62, 63, 3	ofcof 30499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐺 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
65	60, 64	oveq12d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺∘𝑓/𝑐𝑅𝐾)) = ((𝐹 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺 ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
66	39, 56, 65	3eqtr4d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺∘𝑓/𝑐𝑅𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘_𝑓 cof 7061  Fincfn 8123  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  ℕ₀cn0 11504  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ∘_𝑓/𝑐cofc 30487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-ofc 30488

This theorem is referenced by:  ofcs2  30952