Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 29748
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3 (𝜑𝐾𝑇)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
2 ofcccat.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
3 ofcccat.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝑇)
4 fconst6g 5988 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑇)
5 iswrdi 13106 . . . 4 (((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7 fconst6g 5988 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇)
8 iswrdi 13106 . . . 4 (((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(#‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10 fzofi 12586 . . . . 5 (0..^(#‘𝐹)) ∈ Fin
11 snfi 7896 . . . . 5 {𝐾} ∈ Fin
12 hashxp 13029 . . . . 5 (((0..^(#‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})) = ((#‘(0..^(#‘𝐹))) · (#‘{𝐾})))
1310, 11, 12mp2an 703 . . . 4 (#‘((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})) = ((#‘(0..^(#‘𝐹))) · (#‘{𝐾}))
14 wrdfin 13120 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
15 hashcl 12957 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
161, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
17 hashfzo0 13025 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐹))) = (#‘𝐹))
19 hashsng 12968 . . . . . . 7 (𝐾𝑇 → (#‘{𝐾}) = 1)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘{𝐾}) = 1)
2118, 20oveq12d 6541 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(0..^(#‘𝐹))) · (#‘{𝐾})) = ((#‘𝐹) · 1))
2216nn0cnd 11196 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
2322mulid1d 9909 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐹) · 1) = (#‘𝐹))
2421, 23eqtrd 2639 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(0..^(#‘𝐹))) · (#‘{𝐾})) = (#‘𝐹))
2513, 24syl5req 2652 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})))
26 fzofi 12586 . . . . 5 (0..^(#‘𝐺)) ∈ Fin
27 hashxp 13029 . . . . 5 (((0..^(#‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})) = ((#‘(0..^(#‘𝐺))) · (#‘{𝐾})))
2826, 11, 27mp2an 703 . . . 4 (#‘((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})) = ((#‘(0..^(#‘𝐺))) · (#‘{𝐾}))
29 wrdfin 13120 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Fin)
30 hashcl 12957 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Fin → (#‘𝐺) ∈ ℕ0)
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐺) ∈ ℕ0)
32 hashfzo0 13025 . . . . . . 7 ((#‘𝐺) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(#‘𝐺))) = (#‘𝐺))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(0..^(#‘𝐺))) = (#‘𝐺))
3433, 20oveq12d 6541 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(0..^(#‘𝐺))) · (#‘{𝐾})) = ((#‘𝐺) · 1))
3531nn0cnd 11196 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐺) ∈ ℂ)
3635mulid1d 9909 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐺) · 1) = (#‘𝐺))
3734, 36eqtrd 2639 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(0..^(#‘𝐺))) · (#‘{𝐾})) = (#‘𝐺))
3828, 37syl5req 2652 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐺) = (#‘((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})))
391, 2, 6, 9, 25, 38ofccat 13498 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}))))
40 ccatcl 13154 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
411, 2, 40syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
42 wrdf 13107 . . . . 5 ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
44 ovex 6551 . . . . 5 (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
4643, 45, 3ofcof 29298 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
47 ccatlen 13155 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (#‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((#‘𝐹) + (#‘𝐺)))
481, 2, 47syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((#‘𝐹) + (#‘𝐺)))
4948oveq2d 6539 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((#‘𝐹) + (#‘𝐺))))
5049xpeq1d 5048 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((#‘𝐹) + (#‘𝐺))) × {𝐾}))
51 eqid 2605 . . . . . 6 ((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})
52 eqid 2605 . . . . . 6 ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})
53 eqid 2605 . . . . . 6 ((0..^((#‘𝐹) + (#‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((#‘𝐹) + (#‘𝐺))) × {𝐾})
5451, 52, 53, 3, 16, 31ccatmulgnn0dir 29747 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((#‘𝐹) + (#‘𝐺))) × {𝐾}))
5550, 54eqtr4d 2642 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})))
5655oveq2d 6539 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(#‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}))))
5746, 56eqtrd 2639 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}))))
58 wrdf 13107 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆)
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶𝑆)
6010a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) ∈ Fin)
6159, 60, 3ofcof 29298 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐹𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})))
62 wrdf 13107 . . . . 5 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑆)
632, 62syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:(0..^(#‘𝐺))⟶𝑆)
6426a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝐺)) ∈ Fin)
6563, 64, 3ofcof 29298 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐺𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾})))
6661, 65oveq12d 6541 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(#‘𝐺)) × {𝐾}))))
6739, 57, 663eqtr4d 2649 1 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  {csn 4120   × cxp 5022  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  Fincfn 7814  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  0cn0 11135  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   ++ cconcat 13090  𝑓/𝑐cofc 29286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-ofc 29287
This theorem is referenced by:  ofcs2  29750
  Copyright terms: Public domain W3C validator