MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 7413
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
21ffnd 6508 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 off.3 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
43ffnd 6508 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
5 off.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 off.5 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
7 off.6 . . 3 (𝐴𝐵) = 𝐶
8 eqidd 2819 . . 3 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
9 eqidd 2819 . . 3 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
102, 4, 5, 6, 7, 8, 9offval 7405 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
11 inss1 4202 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
127, 11eqsstrri 3999 . . . . 5 𝐶𝐴
1312sseli 3960 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
14 ffvelrn 6841 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
151, 13, 14syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
16 inss2 4203 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
177, 16eqsstrri 3999 . . . . 5 𝐶𝐵
1817sseli 3960 . . . 4 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
19 ffvelrn 6841 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
203, 18, 19syl2an 595 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
21 off.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2221ralrimivva 3188 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
24 ovrspc2v 7171 . . 3 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2515, 20, 23, 24syl21anc 833 . 2 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
2610, 25fmpt3d 6872 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cin 3932  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398
This theorem is referenced by:  suppofssd  7856  o1of2  14957  ghmplusg  18895  gsumzaddlem  18970  gsumzadd  18971  lcomf  19602  psrbagaddcl  20078  psraddcl  20091  psrvscacl  20101  psrbagev1  20218  evlslem3  20221  frlmup1  20870  mndvcl  20930  tsmsadd  22682  mbfmulc2lem  24175  mbfaddlem  24188  i1fadd  24223  i1fmul  24224  itg1addlem4  24227  i1fmulclem  24230  i1fmulc  24231  mbfi1flimlem  24250  itg2mulclem  24274  itg2mulc  24275  itg2monolem1  24278  itg2addlem  24286  dvaddbr  24462  dvmulbr  24463  dvaddf  24466  dvmulf  24467  dv11cn  24525  plyaddlem  24732  coeeulem  24741  coeaddlem  24766  plydivlem4  24812  jensenlem2  25492  jensen  25493  basellem7  25591  basellem9  25593  dchrmulcl  25752  ofrn  30314  offinsupp1  30389  fedgmullem1  30924  sibfof  31497  signshf  31757  circlemethhgt  31813  poimirlem23  34796  poimirlem24  34797  poimirlem25  34798  poimirlem29  34802  poimirlem30  34803  poimirlem31  34804  poimirlem32  34805  itg2addnc  34827  ftc1anclem3  34850  ftc1anclem6  34853  ftc1anclem8  34855  lfladdcl  36087  lflvscl  36093  mzpclall  39202  mzpindd  39221  expgrowth  40544  binomcxplemnotnn0  40565  dvdivcncf  42088  ofaddmndmap  44320  amgmwlem  44831
  Copyright terms: Public domain W3C validator