MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  off Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem off 6865
Description: The function operation produces a function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
off.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
off.2 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
off.3 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
off.4 (𝜑𝐴𝑉)
off.5 (𝜑𝐵𝑊)
off.6 (𝐴𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
off (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐺   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem off
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 off.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
2 off.6 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = 𝐶
3 inss1 3811 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
42, 3eqsstr3i 3615 . . . . . 6 𝐶𝐴
54sseli 3579 . . . . 5 (𝑧𝐶𝑧𝐴)
6 ffvelrn 6313 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑆𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
71, 5, 6syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
8 off.3 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐵𝑇)
9 inss2 3812 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
102, 9eqsstr3i 3615 . . . . . 6 𝐶𝐵
1110sseli 3579 . . . . 5 (𝑧𝐶𝑧𝐵)
12 ffvelrn 6313 . . . . 5 ((𝐺:𝐵𝑇𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
138, 11, 12syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ 𝑇)
14 off.1 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑇)) → (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
1514ralrimivva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐶) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈)
17 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑧) → (𝑥𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅𝑦))
1817eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈))
19 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧)𝑅𝑦) = ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
2019eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (((𝐹𝑧)𝑅𝑦) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈))
2118, 20rspc2va 3307 . . . 4 ((((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑇 (𝑥𝑅𝑦) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
227, 13, 16, 21syl21anc 1322 . . 3 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)) ∈ 𝑈)
23 eqid 2621 . . 3 (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧)))
2422, 23fmptd 6340 . 2 (𝜑 → (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))):𝐶𝑈)
25 ffn 6002 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝑆𝐹 Fn 𝐴)
261, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
27 ffn 6002 . . . . 5 (𝐺:𝐵𝑇𝐺 Fn 𝐵)
288, 27syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
29 off.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
30 off.5 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
31 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
32 eqidd 2622 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
3326, 28, 29, 30, 2, 31, 32offval 6857 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))))
3433feq1d 5987 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈 ↔ (𝑧𝐶 ↦ ((𝐹𝑧)𝑅(𝐺𝑧))):𝐶𝑈))
3524, 34mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐺):𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3554  cmpt 4673   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850
This theorem is referenced by:  o1of2  14277  ghmplusg  18170  gsumzaddlem  18242  gsumzadd  18243  lcomf  18823  psrbagaddcl  19289  psraddcl  19302  psrvscacl  19312  psrbagev1  19429  evlslem3  19433  frlmup1  20056  mndvcl  20116  tsmsadd  21860  mbfmulc2lem  23320  mbfaddlem  23333  i1fadd  23368  i1fmul  23369  itg1addlem4  23372  i1fmulclem  23375  i1fmulc  23376  mbfi1flimlem  23395  itg2mulclem  23419  itg2mulc  23420  itg2monolem1  23423  itg2addlem  23431  dvaddbr  23607  dvmulbr  23608  dvaddf  23611  dvmulf  23612  dv11cn  23668  plyaddlem  23875  coeeulem  23884  coeaddlem  23909  plydivlem4  23955  jensenlem2  24614  jensen  24615  basellem7  24713  basellem9  24715  dchrmulcl  24874  ofrn  29280  sibfof  30180  signshf  30442  poimirlem23  33061  poimirlem24  33062  poimirlem25  33063  poimirlem29  33067  poimirlem30  33068  poimirlem31  33069  poimirlem32  33070  itg2addnc  33093  ftc1anclem3  33116  ftc1anclem6  33119  ftc1anclem8  33121  lfladdcl  33835  lflvscl  33841  mzpclall  36767  mzpindd  36786  expgrowth  38013  binomcxplemnotnn0  38034  dvdivcncf  39445  ofaddmndmap  41407  amgmwlem  41848
  Copyright terms: Public domain W3C validator