Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofs2 13644
 Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ofs2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Proof of Theorem ofs2
StepHypRef Expression
1 df-s2 13530 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2 df-s2 13530 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
31, 2oveq12i 6616 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘𝑓 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
4 simpll 789 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐴𝑆)
54s1cld 13322 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6 simplr 791 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐵𝑆)
76s1cld 13322 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
8 simprl 793 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐶𝑇)
98s1cld 13322 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑇)
10 simprr 795 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → 𝐷𝑇)
1110s1cld 13322 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑇)
12 s1len 13324 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1
13 s1len 13324 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐶”⟩) = 1
1412, 13eqtr4i 2646 . . . . 5 (#‘⟨“𝐴”⟩) = (#‘⟨“𝐶”⟩)
1514a1i 11 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (#‘⟨“𝐴”⟩) = (#‘⟨“𝐶”⟩))
16 s1len 13324 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐵”⟩) = 1
17 s1len 13324 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐷”⟩) = 1
1816, 17eqtr4i 2646 . . . . 5 (#‘⟨“𝐵”⟩) = (#‘⟨“𝐷”⟩)
1918a1i 11 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (#‘⟨“𝐵”⟩) = (#‘⟨“𝐷”⟩))
205, 7, 9, 11, 15, 19ofccat 13642 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘𝑓 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
213, 20syl5eq 2667 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
22 ofs1 13643 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐶𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
234, 8, 22syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
24 ofs1 13643 . . . . 5 ((𝐵𝑆𝐷𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
256, 10, 24syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2623, 25oveq12d 6622 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩))
27 df-s2 13530 . . 3 ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2826, 27syl6eqr 2673 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
2921, 28eqtrd 2655 1 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑇𝐷𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  1c1 9881  #chash 13057   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  ⟨“cs2 13523 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530 This theorem is referenced by:  amgmw2d  41850
 Copyright terms: Public domain W3C validator