MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubge0 10866
Description: Function analogue of subge0 10390. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubge0 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓𝐺) ↔ 𝐺𝑟𝐹))

Proof of Theorem ofsubge0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1054 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffvelrnda 6252 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3 simp3 1055 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
43ffvelrnda 6252 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
52, 4subge0d 10466 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (0 ≤ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
65ralbidva 2967 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (∀𝑥𝐴 0 ≤ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
7 0cn 9888 . . . 4 0 ∈ ℂ
8 fnconstg 5991 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
97, 8mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
10 ffn 5944 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
12 ffn 5944 . . . . 5 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
133, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
14 simp1 1053 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → 𝐴𝑉)
15 inidm 3783 . . . 4 (𝐴𝐴) = 𝐴
1611, 13, 14, 14, 15offn 6783 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐴)
17 c0ex 9890 . . . . 5 0 ∈ V
1817fvconst2 6352 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1918adantl 480 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
20 eqidd 2610 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
21 eqidd 2610 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2211, 13, 14, 14, 15, 20, 21ofval 6781 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
239, 16, 14, 14, 15, 19, 22ofrfval 6780 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓𝐺) ↔ ∀𝑥𝐴 0 ≤ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
2413, 11, 14, 14, 15, 21, 20ofrfval 6780 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (𝐺𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
256, 23, 243bitr4d 298 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → ((𝐴 × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓𝐺) ↔ 𝐺𝑟𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑟 cofr 6771  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  cle 9931  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator