Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubid 40533
Description: Function analogue of subid 10893. (Contributed by Steve Rodriguez, 5-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofsubid ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f𝐹) = (𝐴 × {0}))

Proof of Theorem ofsubid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
2 ffn 6507 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 c0ex 10623 . . . 4 0 ∈ V
54fconst 6558 . . 3 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
6 ffn 6507 . . 3 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
8 eqidd 2819 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
9 ffvelrn 6841 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
109subidd 10973 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥)) = 0)
1110adantll 710 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥)) = 0)
124fvconst2 6958 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1312adantl 482 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1411, 13eqtr4d 2856 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑥)) = ((𝐴 × {0})‘𝑥))
151, 3, 3, 7, 8, 8, 14offveq 7419 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹f𝐹) = (𝐴 × {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   × cxp 5546   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  0cc0 10525  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860
This theorem is referenced by:  expgrowth  40544
  Copyright terms: Public domain W3C validator