Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpaddltrd 29505
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2 + = (+g𝐺)
ogrpaddltrd.1 (𝜑𝐺𝑉)
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3 (𝜑𝑋𝐵)
ogrpaddltrd.4 (𝜑𝑌𝐵)
ogrpaddltrd.5 (𝜑𝑍𝐵)
ogrpaddltrd.6 (𝜑𝑋 < 𝑌)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrd (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd
StepHypRef Expression
1 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
2 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
5 ogrpaddltrd.6 . . . . 5 (𝜑𝑋 < 𝑌)
6 ogrpaddltrd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑉)
7 eqid 2621 . . . . . . . 8 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
8 ogrpaddlt.1 . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐺)
97, 8oppglt 29439 . . . . . . 7 (𝐺𝑉< = (lt‘(oppg𝐺)))
106, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑< = (lt‘(oppg𝐺)))
1110breqd 4624 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌))
125, 11mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌)
13 ogrpaddlt.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
147, 13oppgbas 17702 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
15 eqid 2621 . . . . 5 (lt‘(oppg𝐺)) = (lt‘(oppg𝐺))
16 eqid 2621 . . . . 5 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
1714, 15, 16ogrpaddlt 29503 . . . 4 (((oppg𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍)(lt‘(oppg𝐺))(𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍))
181, 2, 3, 4, 12, 17syl131anc 1336 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍)(lt‘(oppg𝐺))(𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍))
19 ogrpaddlt.2 . . . 4 + = (+g𝐺)
2019, 7, 16oppgplus 17700 . . 3 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2119, 7, 16oppgplus 17700 . . 3 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
2218, 20, 213brtr3g 4646 . 2 (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg𝐺))(𝑍 + 𝑌))
2310breqd 4624 . 2 (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
2422, 23mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  ltcplt 16862  oppgcoppg 17696  oGrpcogrp 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-ple 15882  df-0g 16023  df-plt 16879  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-oppg 17697  df-omnd 29484  df-ogrp 29485
This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  29506  archiabllem2a  29533  archiabllem2c  29534
  Copyright terms: Public domain W3C validator