MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oien 8428
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oien ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹𝐴)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . 4 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21oiexg 8425 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
32adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
41oiiso 8427 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5 isof1o 6558 . . 3 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
7 f1oen3g 7956 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴) → dom 𝐹𝐴)
83, 6, 7syl2anc 692 1 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644   E cep 5018   We wwe 5062  dom cdm 5104  1-1-ontowf1o 5875   Isom wiso 5877  cen 7937  OrdIsocoi 8399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-en 7941  df-oi 8400
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8432  wofib  8435  cantnfcl  8549  cantnff  8556  cantnf0  8557  cantnfp1lem2  8561  cantnflem1  8571  cantnf  8575  cnfcom2lem  8583  finnisoeu  8921  dfac12lem2  8951  pwfseqlem5  9470  fz1isolem  13228
  Copyright terms: Public domain W3C validator