MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiid 8406
Description: The order type of an ordinal under the order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
oiid (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid
StepHypRef Expression
1 ordwe 5705 . 2 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2 epse 5067 . . 3 E Se 𝐴
32a1i 11 . 2 (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4 eqid 2621 . . . . . 6 OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
54oiiso2 8396 . . . . 5 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
61, 2, 5sylancl 693 . . . 4 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7 ordsson 6951 . . . . . . 7 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
84oismo 8405 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
109simprd 479 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
11 isoeq5 6536 . . . . 5 (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
136, 12mpbid 222 . . 3 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
144oicl 8394 . . . . . 6 Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
1514a1i 11 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
16 id 22 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
17 ordiso2 8380 . . . . 5 ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
1813, 15, 16, 17syl3anc 1323 . . . 4 (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
19 isoeq4 6535 . . . 4 (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
2018, 19syl 17 . . 3 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
2113, 20mpbid 222 . 2 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
22 weniso 6569 . 2 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
231, 3, 21, 22syl3anc 1323 1 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wss 3560   E cep 4993   I cid 4994   Se wse 5041   We wwe 5042  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  Ord word 5691  Oncon0 5692   Isom wiso 5858  Smo wsmo 7402  OrdIsocoi 8374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-smo 7403  df-recs 7428  df-oi 8375
This theorem is referenced by:  hsmexlem5  9212
  Copyright terms: Public domain W3C validator