MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiiso 8427
Description: The order isomorphism of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiiso ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 5068 . 2 (𝐴𝑉𝑅 Se 𝐴)
2 oicl.1 . . . 4 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 8422 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43ancoms 469 . 2 ((𝑅 Se 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
51, 4sylan 488 1 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988   E cep 5018   Se wse 5061   We wwe 5062  dom cdm 5104   Isom wiso 5877  OrdIsocoi 8399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-oi 8400
This theorem is referenced by:  oien  8428  wofib  8435  cantnfle  8553  cantnflt  8554  cantnflt2  8555  cantnfp1lem3  8562  cantnflem1b  8568  cantnflem1d  8570  cantnflem1  8571  wemapwe  8579  cnfcomlem  8581  cnfcom  8582  cnfcom3lem  8585  infxpenlem  8821  finnisoeu  8921  dfac12lem2  8951  cofsmo  9076  fpwwe2lem6  9442  fpwwe2lem7  9443  fpwwe2lem9  9445  pwfseqlem5  9470  fz1isolem  13228
  Copyright terms: Public domain W3C validator