Theorem oion 9002

Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oion	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oicl 8995	. 2 ⊢ Ord dom 𝐹
3	1	oiexg 9001	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
4		dmexg 7615	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5		elong 6201	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
7	2, 6	mpbiri 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  dom cdm 5557  Ord word 6192  Oncon0 6193  OrdIsocoi 8975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-oi 8976

This theorem is referenced by:  hartogslem1  9008  wofib  9011  cantnfcl  9132  cantnflt2  9138  cantnflem1  9154  wemapwe  9162  cnfcom2  9167  cnfcom3lem  9168  cnfcom3  9169  finnisoeu  9541  dfac12lem2  9572  cofsmo  9693  pwfseqlem5  10087  fz1isolem  13822