MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oion 8393
Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oion (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21oicl 8386 . 2 Ord dom 𝐹
31oiexg 8392 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
4 dmexg 7051 . . 3 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5 elong 5695 . . 3 (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
63, 4, 53syl 18 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
72, 6mpbiri 248 1 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  dom cdm 5079  Ord word 5686  Oncon0 5687  OrdIsocoi 8366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-oi 8367
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8399  wofib  8402  cantnfcl  8516  cantnflt2  8522  cantnflem1  8538  wemapwe  8546  cnfcom2  8551  cnfcom3lem  8552  cnfcom3  8553  finnisoeu  8888  dfac12lem2  8918  cofsmo  9043  pwfseqlem5  9437  fz1isolem  13191
  Copyright terms: Public domain W3C validator