Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm3N 34824
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm3 28514 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm3N ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem oldmm3N
StepHypRef Expression
1 olop 34819 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
213ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 simp3 1083 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 oldmm1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 oldmm1.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
64, 5opoccl 34799 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
72, 3, 6syl2anc 694 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
8 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
104, 8, 9, 5oldmm1 34822 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))))
117, 10syld3an3 1411 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))))
124, 5opococ 34800 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
132, 3, 12syl2anc 694 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 6706 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))
1511, 14eqtrd 2685 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  occoc 15996  joincjn 16991  meetcmee 16992  OPcops 34777  OLcol 34779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093  df-oposet 34781  df-ol 34783
This theorem is referenced by:  cmtbr3N  34859  lhprelat3N  35644
  Copyright terms: Public domain W3C validator