Theorem olm02 36367

Description: Meet with lattice zero is zero. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem olm02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 36343	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		olop 36344	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		olm0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		olm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	6, 7	op0cl 36314	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
10		olm0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 17679	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
12	2, 3, 9, 11	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
13	6, 10, 7	olm01 36366	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = 0 )
14	12, 13	eqtr3d 2858	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  meetcmee 17549  0.cp0 17641  Latclat 17649  OPcops 36302  OLcol 36304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-lat 17650  df-oposet 36306  df-ol 36308

This theorem is referenced by:  cdleme15b  37405