Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm11 34333
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (chm1i 28285 analog.) (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m = (meet‘𝐾)
olm1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olm11
StepHypRef Expression
1 olop 34320 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 eqid 2620 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 olm1.u . . . . . . 7 1 = (1.‘𝐾)
5 eqid 2620 . . . . . . 7 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
63, 4, 5opoc1 34308 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘ 1 ) = (0.‘𝐾))
87oveq2d 6651 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)))
9 olm1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 5opoccl 34300 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
111, 10sylan 488 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12 eqid 2620 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
139, 12, 3olj01 34331 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1411, 13syldan 487 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)(0.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
158, 14eqtrd 2654 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 )) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))
1615fveq2d 6182 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
179, 4op1cl 34291 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
182, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
19 olm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
209, 12, 19, 5oldmj4 34330 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
2118, 20mpd3an3 1423 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(((oc‘𝐾)‘𝑋)(join‘𝐾)((oc‘𝐾)‘ 1 ))) = (𝑋 1 ))
229, 5opococ 34301 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
231, 22sylan 488 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
2416, 21, 233eqtr3d 2662 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  occoc 15930  joincjn 16925  meetcmee 16926  0.cp0 17018  1.cp1 17019  OPcops 34278  OLcol 34280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-oposet 34282  df-ol 34284
This theorem is referenced by:  olm12  34334  lhpmcvr3  35130  trljat1  35272  trljat2  35273  cdlemc1  35297  cdlemc6  35302  cdleme0cp  35320  cdleme0cq  35321  cdleme1  35333  cdleme4  35344  cdleme5  35346  cdleme8  35356  cdleme9  35359  cdleme10  35360  cdleme20c  35418  cdleme20j  35425  cdleme22e  35451  cdleme22eALTN  35452  cdleme30a  35485  cdleme35b  35557  cdleme35e  35560  cdleme42a  35578  trlcoabs2N  35829  trlcolem  35833  cdlemi1  35925  cdlemk4  35941  dia2dimlem1  36172  cdlemn10  36314  dihglbcpreN  36408
  Copyright terms: Public domain W3C validator