Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm12 34034
Description: The meet of an ortholattice element with one equals itself. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm1.m = (meet‘𝐾)
olm1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm12 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olm12
StepHypRef Expression
1 ollat 34019 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 34020 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
43adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
5 olm1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 olm1.u . . . . 5 1 = (1.‘𝐾)
75, 6op1cl 33991 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
84, 7syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
9 simpr 477 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
115, 10latmcom 17015 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 1𝐵𝑋𝐵) → ( 1 𝑋) = (𝑋 1 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋) = (𝑋 1 ))
135, 10, 6olm11 34033 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 1 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2655 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  meetcmee 16885  1.cp1 16978  Latclat 16985  OPcops 33978  OLcol 33980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-oposet 33982  df-ol 33984
This theorem is referenced by:  dih1  36094  dihjatc  36225
  Copyright terms: Public domain W3C validator