MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om00el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om00el 7602
Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
om00el ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem om00el
StepHypRef Expression
1 om00 7601 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
21necon3abid 2832 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
3 omcl 7562 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ On)
4 on0eln0 5742 . . 3 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ On → (∅ ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
6 on0eln0 5742 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
7 on0eln0 5742 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
86, 7bi2anan9 916 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
9 neanior 2888 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
108, 9syl6bb 276 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅)))
112, 5, 103bitr4d 300 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  c0 3896  Oncon0 5685  (class class class)co 6605   ·𝑜 comu 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-omul 7511
This theorem is referenced by:  odi  7605  oeoe  7625  omxpenlem  8006
  Copyright terms: Public domain W3C validator