MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1 7582
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
om1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)

Proof of Theorem om1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7520 . . . 4 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 6626 . . 3 (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = (𝐴 ·𝑜 suc ∅)
3 peano1 7047 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onmsuc 7569 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
53, 4mpan2 706 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
62, 5syl5eq 2667 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
7 om0 7557 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
87oveq1d 6630 . 2 (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴) = (∅ +𝑜 𝐴))
9 oa0r 7578 . 2 (𝐴 ∈ On → (∅ +𝑜 𝐴) = 𝐴)
106, 8, 93eqtrd 2659 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3897  Oncon0 5692  suc csuc 5694  (class class class)co 6615  ωcom 7027  1𝑜c1o 7513   +𝑜 coa 7517   ·𝑜 comu 7518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525
This theorem is referenced by:  oe1m  7585  omword1  7613  oeordi  7627  oeoalem  7636  oeoa  7637  oeeui  7642  oaabs2  7685  infxpenc  8801
  Copyright terms: Public domain W3C validator