MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzf1oi 12572
Description: 𝐺 (see om2uz0i 12566) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7395 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 om2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 5885 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 219 . . . 4 𝐺 Fn ω
5 om2uz.1 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
65, 2om2uzrani 12571 . . . . 5 ran 𝐺 = (ℤ𝐶)
76eqimssi 3621 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)
8 df-f 5794 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
94, 7, 8mpbir2an 956 . . 3 𝐺:ω⟶(ℤ𝐶)
105, 2om2uzuzi 12568 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
11 eluzelz 11532 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1312zred 11317 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
145, 2om2uzuzi 12568 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
15 eluzelz 11532 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1716zred 11317 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
18 lttri3 9973 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
1913, 17, 18syl2an 492 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
20 ioran 509 . . . . . 6 (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2119, 20syl6bbr 276 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
22 nnord 6943 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23 nnord 6943 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24 ordtri3 5662 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2522, 23, 24syl2an 492 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625con2bid 342 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
275, 2om2uzlti 12569 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
285, 2om2uzlti 12569 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2928ancoms 467 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3027, 29orim12d 878 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3126, 30sylbird 248 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3231con1d 137 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
3321, 32sylbid 228 . . . 4 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433rgen2a 2959 . . 3 𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35 dff13 6394 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
369, 34, 35mpbir2an 956 . 2 𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶)
37 dff1o5 6044 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
3836, 6, 37mpbir2an 956 1 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cres 5030  Ord word 5625   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1wf1 5787  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6935  reccrdg 7370  cr 9792  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931  cz 11213  cuz 11522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12573  uzrdglem  12576  uzrdgfni  12577  uzrdgsuci  12579  uzenom  12583  fzennn  12587  cardfz  12589  hashgf1o  12590  axdc4uzlem  12602  unbenlem  15399
  Copyright terms: Public domain W3C validator