MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzf1oi 12792
Description: 𝐺 (see om2uz0i 12786) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 7575 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω
2 om2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
32fneq1i 6023 . . . . 5 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω) Fn ω)
41, 3mpbir 221 . . . 4 𝐺 Fn ω
5 om2uz.1 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℤ
65, 2om2uzrani 12791 . . . . 5 ran 𝐺 = (ℤ𝐶)
76eqimssi 3692 . . . 4 ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)
8 df-f 5930 . . . 4 (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
94, 7, 8mpbir2an 975 . . 3 𝐺:ω⟶(ℤ𝐶)
105, 2om2uzuzi 12788 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
11 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
1312zred 11520 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
145, 2om2uzuzi 12788 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
15 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℤ)
1716zred 11520 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ω → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
18 lttri3 10159 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
1913, 17, 18syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
20 ioran 510 . . . . . 6 (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) ↔ (¬ (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∧ ¬ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2119, 20syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
22 nnord 7115 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
23 nnord 7115 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
24 ordtri3 5797 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝑦 ∧ Ord 𝑧) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2522, 23, 24syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ ¬ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625con2bid 343 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧))
275, 2om2uzlti 12789 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦𝑧 → (𝐺𝑦) < (𝐺𝑧)))
285, 2om2uzlti 12789 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
2928ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧𝑦 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)))
3027, 29orim12d 901 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3126, 30sylbird 250 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ 𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦))))
3231con1d 139 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ ((𝐺𝑦) < (𝐺𝑧) ∨ (𝐺𝑧) < (𝐺𝑦)) → 𝑦 = 𝑧))
3321, 32sylbid 230 . . . 4 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3433rgen2a 3006 . . 3 𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
35 dff13 6552 . . 3 (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
369, 34, 35mpbir2an 975 . 2 𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶)
37 dff1o5 6184 . 2 (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
3836, 6, 37mpbir2an 975 1 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  Ord word 5760   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  reccrdg 7550  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12793  uzrdglem  12796  uzrdgfni  12797  uzrdgsuci  12799  uzenom  12803  fzennn  12807  cardfz  12809  hashgf1o  12810  axdc4uzlem  12822  unbenlem  15659
  Copyright terms: Public domain W3C validator