MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlt2i 12570
Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 12566) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
2 om2uz.2 . . 3 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
31, 2om2uzlti 12569 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
41, 2om2uzlti 12569 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
5 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)))
74, 6orim12d 879 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
87ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
9 nnon 6941 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10 nnon 6941 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11 onsseleq 5668 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
12 ontri1 5660 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1311, 12bitr3d 269 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
149, 10, 13syl2anr 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
151, 2om2uzuzi 12568 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶))
16 eluzelre 11533 . . . . 5 ((𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
181, 2om2uzuzi 12568 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
19 eluzelre 11533 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
21 leloe 9976 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
22 lenlt 9968 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2321, 22bitr3d 269 . . . 4 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2417, 20, 23syl2anr 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
258, 14, 243imtr3d 281 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
263, 25impcon4bid 216 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4578  cmpt 4638  cres 5030  Oncon0 5626  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6935  reccrdg 7370  cr 9792  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931  cle 9932  cz 11213  cuz 11522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12573  unbenlem  15399
  Copyright terms: Public domain W3C validator