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Theorem omeiunltfirp 41239
 Description: If the outer measure of a countable union is not +∞, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunltfirp.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunltfirp.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunltfirp.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
omeiunltfirp.re (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
omeiunltfirp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝑛,𝑋   𝑧,𝑌   𝑛,𝑍,𝑧   𝜑,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧,𝑛)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑁)
2 fvex 6362 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . . . 5 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝑍 ∈ V)
5 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
65adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
7 omeiunltfirp.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
8 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
98ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
10 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑛) ∈ V
1110elpw 4308 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
129, 11sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
136, 7, 12omecl 41223 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
1513, 14fmptd 6548 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
1615adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
17 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
18 omeiunltfirp.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
1918adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
204, 16, 17, 19sge0pnffigt 41116 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
21 simpl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)))
22 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
23 elpwinss 39715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
2423resmptd 5610 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
2524fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2722, 26breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2827adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2918rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3029ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
31 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
325ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
338ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
3423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
35 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
3634, 35sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3736adantll 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3833, 37ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
3938, 11sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
4032, 7, 39omecl 41223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
41 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
4240, 41fmptd 6548 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,]+∞))
4331, 42sge0xrcl 41105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
4443adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
45 elinel2 3943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
47 rge0ssre 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
48 0xr 10278 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ∈ ℝ*)
50 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
5232, 7, 39omexrcl 41227 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
53 iccgelb 12423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5449, 51, 40, 53syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5512ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
56 iunss 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5755, 56sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5857ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5932, 7, 58omexrcl 41227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
60 ssiun2 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6137, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6232, 7, 58, 61omessle 41218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
6318ltpnfd 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6463ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6552, 59, 51, 62, 64xrlelttrd 12184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) < +∞)
6649, 51, 52, 54, 65elicod 12417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
6747, 66sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
6846, 67fsumrecl 14664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
69 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
7069rpred 12065 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
7268, 71readdcld 10261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
7372rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
7473adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
75 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7666, 41fmptd 6548 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,)+∞))
7746, 76sge0fsum 41107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘))
78 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
79 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
8079fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
83 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑘)) ∈ V)
8478, 81, 82, 83fvmptd 6450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
8584sumeq2dv 14632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)))
86 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
8786fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑘)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8887cbvsumv 14625 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
9077, 85, 893eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
9169adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
9268, 91ltaddrpd 12098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9390, 92eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9493adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9530, 44, 74, 75, 94xrlttrd 12183 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9621, 28, 95syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9796ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9897adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9998reximdva 3155 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
10020, 99mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
101 simpl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝜑)
102 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
1033a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
104103, 15sge0repnf 41106 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
105104adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
106102, 105mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
107 nfv 1992 . . . . . 6 𝑛𝜑
108 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑛Σ^
109 nfmpt1 4899 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
110108, 109nffv 6359 . . . . . . 7 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
111 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑛
112110, 111nfel 2915 . . . . . 6 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ
113107, 112nfan 1977 . . . . 5 𝑛(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
1143a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ V)
11513adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
11669adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ+)
117 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
118113, 114, 115, 116, 117sge0ltfirpmpt 41128 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
11918ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
120117ad2antrr 764 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
12172ad4ant13 1207 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
122 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑛𝐸
123107, 122, 5, 7, 1, 8omeiunle 41237 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
124123ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
125 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
126 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝜑)
127 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
128127fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑚)))
129128cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))
130129fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . . 14 ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
131130eleq1i 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
132131biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
133132ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
134 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
13545adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13666adantllr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
137135, 136sge0fsummpt 41110 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
138126, 133, 134, 137syl21anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
139138oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
140139adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
141125, 140breqtrd 4830 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
142119, 120, 121, 124, 141lelttrd 10387 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
143142ex 449 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
144143reximdva 3155 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
145118, 144mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
146101, 106, 145syl2anc 696 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
147100, 146pm2.61dan 867 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℝcr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  Σcsu 14615  Σ^csumge0 41082  OutMeascome 41209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-sumge0 41083  df-ome 41210 This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  41242
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