Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omelesplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omelesplit 39208
Description: The outer measure of a set 𝐴 is less than or equal to the extended addition of the outer measures of the decomposition induced on 𝐴 by any 𝐸. Step (a) in the proof of Caratheodory's Method, Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omelesplit.1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omelesplit.2 𝑋 = dom 𝑂
omelesplit.3 (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omelesplit (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))

Proof of Theorem omelesplit
StepHypRef Expression
1 inundif 3993 . . . . 5 ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸)) = 𝐴
21eqcomi 2614 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸)))
43fveq2d 6088 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))))
5 omelesplit.1 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omelesplit.2 . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omelesplit.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
8 ssinss1 3798 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
107ssdifssd 3705 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
115, 6, 9, 10omeunle 39206 . 2 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
124, 11eqbrtrd 4595 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cdif 3532  cun 3533  cin 3534  wss 3535   cuni 4362   class class class wbr 4573  dom cdm 5024  cfv 5786  (class class class)co 6523  cle 9927   +𝑒 cxad 11772  OutMeascome 39179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-xadd 11775  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-sumge0 39056  df-ome 39180
This theorem is referenced by:  carageniuncl  39213  caragenel2d  39222
  Copyright terms: Public domain W3C validator