MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeo 15021
Description: The difference of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
omeo (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem omeo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 14996 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2 2z 11360 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3 divides 14916 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
42, 3mpan 705 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
51, 4bi2anan9 916 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6 reeanv 3100 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7 zsubcl 11370 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℤ)
8 zcn 11333 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9 zcn 11333 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10 2cn 11042 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
11 subdi 10414 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1210, 11mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
1312oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
14 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
1510, 14mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16 mulcl 9971 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
1710, 16mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18 ax-1cn 9945 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
19 addsub 10243 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2018, 19mp3an2 1409 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
2115, 17, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
22 mulcom 9973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2310, 22mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
2423oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℂ → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
2613, 21, 253eqtr2d 2661 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
278, 9, 26syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
28 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎𝑏)))
2928oveq1d 6625 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎𝑏)) + 1))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))))
3130rspcev 3298 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
327, 27, 31syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
33 oveq12 6619 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) = (𝐴𝐵))
3433eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3534rexbidv 3046 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3632, 35syl5ibcom 235 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
3736rexlimivv 3030 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
386, 37sylbir 225 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
395, 38syl6bi 243 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4039imp 445 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
4140an4s 868 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵))
42 zsubcl 11370 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
4342ad2ant2r 782 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
44 odd2np1 14996 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4543, 44syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴𝐵)))
4641, 45mpbird 247 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cc 9885  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  2c2 11021  cz 11328  cdvds 14914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-dvds 14915
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator