Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omessre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omessre 41228
 Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omessre.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x 𝑋 = dom 𝑂
omessre.a (𝜑𝐴𝑋)
omessre.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
omessre (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12471 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10276 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10282 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 omessre.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 omessre.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
8 omessre.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
9 omessre.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9sstrd 3752 . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
116, 7, 10omexrcl 41225 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
126, 7, 10omecl 41221 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 iccgelb 12421 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐵))
143, 5, 12, 13syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐵))
15 omessre.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1615rexrd 10279 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
176, 7, 9, 8omessle 41216 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ (𝑂𝐴))
1815ltpnfd 12146 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) < +∞)
1911, 16, 5, 17, 18xrlelttrd 12182 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) < +∞)
203, 5, 11, 14, 19elicod 12415 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,)+∞))
211, 20sseldi 3740 1 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ⊆ wss 3713  ∪ cuni 4586   class class class wbr 4802  dom cdm 5264  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℝcr 10125  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  ℝ*cxr 10263   ≤ cle 10265  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  OutMeascome 41207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-po 5185  df-so 5186  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-ico 12372  df-icc 12373  df-ome 41208 This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  41239  carageniuncllem2  41240
 Copyright terms: Public domain W3C validator