Theorem omeulem1 8210

Description: Lemma for omeu 8213: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeulem1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem omeulem1

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
2		sucelon 7534	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On ↔ suc 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ∈ On)
4		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5		on0eln0 6248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	biimpar 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
7	6	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
8		omword2 8202	. . . . 5 ⊢ (((suc 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
9	3, 4, 7, 8	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵))
10		sucidg 6271	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ suc 𝐵)
11		ssel 3963	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ suc 𝐵 → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
12	10, 11	syl5 34	. . . 4 ⊢ (suc 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o suc 𝐵) → (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
13	9, 1, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵))
14		suceq 6258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
15	14	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝐵))
16	15	eleq2d 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)))
17	16	rspcev 3625	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
18	1, 13, 17	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
19		suceq 6258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → suc 𝑥 = suc 𝑧)
20	19	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ·o suc 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑧))
21	20	eleq2d 2900	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
22	21	onminex 7524	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
23		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	23	elon 6202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ On ↔ Ord 𝑥)
25		ordzsl 7562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
26	24, 25	bitri 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥))
27		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o ∅))
28		om0 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
29	27, 28	sylan9eqr 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∅)
30		ne0i 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑥) ≠ ∅)
31	30	necon2bi 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ·o 𝑥) = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
33	32	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
35	34	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))))
36	35	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
37		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → 𝑥 = suc 𝑤)
38		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
39		raleq 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
40		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
41	40	sucid 6272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑤 ∈ suc 𝑤
42		suceq 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → suc 𝑧 = suc 𝑤)
43	42	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐴 ·o suc 𝑧) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
44	43	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
45	44	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
46	45	rspcv 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
47	41, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ suc 𝑤 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
48	39, 47	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
49	37, 38, 48	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤))
50		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐴 ·o 𝑥) = (𝐴 ·o suc 𝑤))
51	50	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
52	51	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = suc 𝑤 → (¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)))
53	52	biimpar 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = suc 𝑤 ∧ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑤)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
54	37, 49, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 = suc 𝑤) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
55	54	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
56	55	rexlimdvw 3292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
57		ralnex 3238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))
58		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
59	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝑥 ∈ V)
60		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → Lim 𝑥)
61		omlim 8160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥)) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
62	58, 59, 60, 61	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧))
63	62	eleq2d 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧)))
64		eliun 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧))
65		limord 6252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
66	65	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → Ord 𝑥)
67	66, 24	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
68		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)
69		onelon 6218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ On)
70	67, 68, 69	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ On)
71		suceloni 7530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ On → suc 𝑧 ∈ On)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → suc 𝑧 ∈ On)
73		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
74		sssucid 6270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑧 ⊆ suc 𝑧
75		omwordi 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ⊆ suc 𝑧 → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
76	74, 75	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ suc 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
77	70, 72, 73, 76	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝐴 ·o 𝑧) ⊆ (𝐴 ·o suc 𝑧))
78	77	sseld 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
79	78	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧))))
80	79	reximdvai 3274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
81	64, 80	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑥 (𝐴 ·o 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
82	63, 81	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)))
83	82	con3d 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (¬ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
84	57, 83	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
85	84	expimpd 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
86	85	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
87	86	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (Lim 𝑥 → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
88	36, 56, 87	3jaod 1424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑤 ∈ On 𝑥 = suc 𝑤 ∨ Lim 𝑥) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
89	26, 88	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
90	89	impr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥))
91		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
92		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝑥 ∈ On)
93		omcl 8163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
94	91, 92, 93	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
95		simpl2 1188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → 𝐵 ∈ On)
96		ontri1 6227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
97	94, 95, 96	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o 𝑥)))
98	90, 97	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵)
99		oawordex 8185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ·o 𝑥) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
100	94, 95, 99	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝐴 ·o 𝑥) ⊆ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
101	98, 100	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
102	101	3adantr1 1165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
103		simp3r 1198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
104		simp21 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥))
105		simp11 1199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
106		simp23 1204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑥 ∈ On)
107		omsuc 8153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
108	105, 106, 107	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o suc 𝑥) = ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
109	104, 108	eleqtrd 2917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
110	103, 109	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴))
111		simp3l 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
112	105, 106, 93	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On)
113		oaord 8175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴 ·o 𝑥) ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
114	111, 105, 112, 113	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) ∈ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝐴)))
115	110, 114	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
116	115, 103	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ (𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
117	116	3expia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ((𝑦 ∈ On ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
118	117	reximdv2 3273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → (∃𝑦 ∈ On ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
119	102, 118	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)
120	119	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
121	120	3expia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → (𝑥 ∈ On → ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
122	121	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ On → ((𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)))
123	122	reximdvai 3274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On (𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
124	22, 123	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐵 ∈ (𝐴 ·o suc 𝑥) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵))
125	18, 124	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ 𝐴 ((𝐴 ·o 𝑥) +o 𝑦) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ∪ ciun 4921  Ord word 6192  Oncon0 6193  Lim wlim 6194  suc csuc 6195  (class class class)co 7158   +_o coa 8101   ·_o comu 8102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-omul 8109

This theorem is referenced by:  omeu  8213