MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf 8030
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7838 . . 3 (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2 nnord 6938 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3 ordom 6939 . . . . . . . 8 Ord ω
4 ordelssne 5649 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
52, 3, 4sylancl 692 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
65ibi 254 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7 df-pss 3551 . . . . . 6 (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
86, 7sylibr 222 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9 ensym 7864 . . . . 5 (ω ≈ 𝑥𝑥 ≈ ω)
10 pssinf 8028 . . . . 5 ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
118, 9, 10syl2an 492 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
1211rexlimiva 3005 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
131, 12sylbi 205 . 2 (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
14 pm2.01 178 . 2 ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
1513, 14ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  wss 3535  wpss 3536   class class class wbr 4573  Ord word 5621  ωcom 6930  cen 7811  Fincfn 7814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-om 6931  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818
This theorem is referenced by:  fineqv  8033  nnsdomg  8077  ackbij1lem18  8915  fin23lem21  9017  fin23lem28  9018  fin23lem30  9020  isfin1-2  9063  uzinf  12577  bitsf1  14948  odhash  17754  ufinffr  21481  poimirlem30  32408  diophin  36153  diophren  36194  fiphp3d  36200
  Copyright terms: Public domain W3C validator