Theorem omlfh1N 36398

Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 29398 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlfh1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlfh1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
omlfh1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
omlfh1.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
omlfh1N	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem omlfh1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 36382	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		omlfh1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		omlfh1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		omlfh1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	latledi 17702	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
7	1, 6	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
8	7	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
9	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simpr1 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simpr3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	2, 4	latjcl 17664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
15	2, 5	latmcom 17688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋))
17		omlol 36380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
18	17	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 5	latmcl 17665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
20	9, 10, 11, 19	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
21	2, 5	latmcl 17665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
22	9, 10, 12, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵)
23		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
24	2, 4, 5, 23	oldmj1 36361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))))
26	2, 4, 5, 23	oldmm1 36357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
27	18, 10, 11, 26	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
28	2, 4, 5, 23	oldmm1 36357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
29	18, 10, 12, 28	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
30	27, 29	oveq12d 7177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
31	25, 30	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
32	16, 31	oveq12d 7177	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
33	32	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
34		omlop 36381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
35	34	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OP)
36	2, 23	opoccl 36334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
37	35, 10, 36	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
38	2, 23	opoccl 36334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
39	35, 11, 38	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
40	2, 4	latjcl 17664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
41	9, 37, 39, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
42	2, 23	opoccl 36334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
43	35, 12, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
44	2, 4	latjcl 17664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
45	9, 37, 43, 44	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
46	2, 5	latmcl 17665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
47	9, 41, 45, 46	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)
48	2, 5	latmassOLD 36369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
49	18, 14, 10, 47, 48	syl13anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
50	49	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))))
51		omlfh1.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
52	2, 23, 51	cmt2N 36390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
53	52	3adant3r3 1180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
54		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OML)
55	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
56	54, 10, 39, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
57	53, 56	bitrd 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌))))
58	57	biimpa 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
59	58	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
60	59	3impa 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)))
61	2, 23, 51	cmt2N 36390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
62	61	3adant3r2 1179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ 𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍)))
63	2, 4, 5, 23, 51	cmtbr3N 36394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
64	54, 10, 43, 63	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶((oc‘𝐾)‘𝑍) ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
65	62, 64	bitrd 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
66	65	biimpa 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
67	66	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
68	67	3impa 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
69	60, 68	oveq12d 7177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
70	2, 5	latmmdiN 36374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
71	18, 10, 41, 45, 70	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
72	71	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = ((𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌))) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
73	2, 5	latmmdiN 36374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
74	18, 10, 39, 43, 73	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
75	74	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = ((𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (𝑋 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
76	69, 72, 75	3eqtr4d 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
77	76	oveq2d 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
78	2, 5	latmcl 17665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
79	9, 39, 43, 78	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)
80	2, 5	latm12 36370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
81	18, 14, 10, 79, 80	syl13anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
82	81	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (𝑋 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
83	50, 77, 82	3eqtrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑋) ∧ ((((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑌)) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑋) ∨ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))))
84	2, 4, 5, 23	oldmj1 36361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
85	18, 11, 12, 84	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍)) = (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))
86	85	oveq2d 7175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))))
87		eqid 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
88	2, 23, 5, 87	opnoncon 36348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
89	35, 14, 88	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ ((oc‘𝐾)‘(𝑌 ∨ 𝑍))) = (0.‘𝐾))
90	86, 89	eqtr3d 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍))) = (0.‘𝐾))
91	90	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)))
92	2, 5, 87	olm01 36376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
93	18, 10, 92	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (0.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
94	91, 93	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
95	94	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ ((𝑌 ∨ 𝑍) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)))) = (0.‘𝐾))
96	33, 83, 95	3eqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾))
97	2, 4	latjcl 17664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
98	9, 20, 22, 97	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵)
99	2, 5	latmcl 17665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
100	9, 10, 14, 99	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
101	2, 3, 5, 23, 87	omllaw3 36385	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
102	54, 98, 100, 101	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
103	102	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ ((oc‘𝐾)‘((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍))))
104	8, 96, 103	mp2and 697	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)))
105	104	eqcomd 2830	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑍)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  lecple 16575  occoc 16576  joincjn 17557  meetcmee 17558  0.cp0 17650  Latclat 17658  OPcops 36312  cmccmtN 36313  OLcol 36314  OMLcoml 36315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-proset 17541  df-poset 17559  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-lat 17659  df-oposet 36316  df-cmtN 36317  df-ol 36318  df-oml 36319

This theorem is referenced by:  omlfh3N  36399  omlmod1i2N  36400