Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlspjN 35069
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l = (le‘𝐾)
omlspj.j = (join‘𝐾)
omlspj.m = (meet‘𝐾)
omlspj.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 35050 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 35049 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1243 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 omlspj.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
86, 7opoccl 35002 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
10 omlspj.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
116, 10latmcom 17296 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
13 eqid 2760 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
146, 7, 10, 13opnoncon 35016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
154, 5, 14syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
1612, 15eqtrd 2794 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (0.‘𝐾))
1716oveq2d 6830 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = (𝑋 (0.‘𝐾)))
18 simp1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1242 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
20 simp3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋 𝑌)
21 eqid 2760 . . . . . 6 (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
226, 21cmtidN 35065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
2318, 5, 22syl2anc 696 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
246, 7, 21cmt3N 35059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2623, 25mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27 omlspj.l . . . 4 = (le‘𝐾)
28 omlspj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 35068 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌 ∧ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1495 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
31 omlol 35048 . . . 4 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 35033 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 696 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2802 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  occoc 16171  joincjn 17165  meetcmee 17166  0.cp0 17258  Latclat 17266  OPcops 34980  cmccmtN 34981  OLcol 34982  OMLcoml 34983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-preset 17149  df-poset 17167  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-oposet 34984  df-cmtN 34985  df-ol 34986  df-oml 34987
This theorem is referenced by:  doca2N  36935  djajN  36946
  Copyright terms: Public domain W3C validator