Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2d 30013
Description: In a commutative left ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1 = (le‘𝑀)
omndadd.2 + = (+g𝑀)
omndadd2d.m (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (𝜑𝑊𝐵)
omndadd2d.x (𝜑𝑋𝐵)
omndadd2d.y (𝜑𝑌𝐵)
omndadd2d.z (𝜑𝑍𝐵)
omndadd2d.1 (𝜑𝑋 𝑍)
omndadd2d.2 (𝜑𝑌 𝑊)
omndadd2d.c (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2d (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2d
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 30010 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 29963 . . 3 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 30009 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 omndadd2d.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+g𝑀)
119, 10mndcl 17498 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
126, 7, 8, 11syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 omndadd2d.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
149, 10mndcl 17498 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
156, 13, 8, 14syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
16 omndadd2d.w . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
179, 10mndcl 17498 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
186, 13, 16, 17syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
1912, 15, 183jca 1123 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20 omndadd2d.1 . . 3 (𝜑𝑋 𝑍)
21 omndadd.1 . . . 4 = (le‘𝑀)
229, 21, 10omndadd 30011 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌))
231, 7, 13, 8, 20, 22syl131anc 1490 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌))
24 omndadd2d.2 . . . 4 (𝜑𝑌 𝑊)
259, 21, 10omndadd 30011 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑌𝐵𝑊𝐵𝑍𝐵) ∧ 𝑌 𝑊) → (𝑌 + 𝑍) (𝑊 + 𝑍))
261, 8, 16, 13, 24, 25syl131anc 1490 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) (𝑊 + 𝑍))
27 omndadd2d.c . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
289, 10cmncom 18405 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2927, 8, 13, 28syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
309, 10cmncom 18405 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ 𝑊𝐵𝑍𝐵) → (𝑊 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑊))
3127, 16, 13, 30syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑊 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑊))
3226, 29, 313brtr3d 4831 . 2 (𝜑 → (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
339, 21postr 17150 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌) ∧ (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)))
3433imp 444 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌) ∧ (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
354, 19, 23, 32, 34syl22anc 1478 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  +gcplusg 16139  lecple 16146  Posetcpo 17137  Tosetctos 17230  Mndcmnd 17491  CMndccmn 18389  oMndcomnd 30002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-nul 4937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-iota 6008  df-fv 6053  df-ov 6812  df-poset 17143  df-toset 17231  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-cmn 18391  df-omnd 30004
This theorem is referenced by:  omndmul  30019  gsumle  30084
  Copyright terms: Public domain W3C validator