Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2d 28841
Description: In a commutative left ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1 = (le‘𝑀)
omndadd.2 + = (+g𝑀)
omndadd2d.m (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (𝜑𝑊𝐵)
omndadd2d.x (𝜑𝑋𝐵)
omndadd2d.y (𝜑𝑌𝐵)
omndadd2d.z (𝜑𝑍𝐵)
omndadd2d.1 (𝜑𝑋 𝑍)
omndadd2d.2 (𝜑𝑌 𝑊)
omndadd2d.c (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2d (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2d
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 28838 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 28791 . . 3 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 28837 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 omndadd2d.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+g𝑀)
119, 10mndcl 17066 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
126, 7, 8, 11syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 omndadd2d.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
149, 10mndcl 17066 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
156, 13, 8, 14syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
16 omndadd2d.w . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
179, 10mndcl 17066 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
186, 13, 16, 17syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
1912, 15, 183jca 1234 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20 omndadd2d.1 . . 3 (𝜑𝑋 𝑍)
21 omndadd.1 . . . 4 = (le‘𝑀)
229, 21, 10omndadd 28839 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌))
231, 7, 13, 8, 20, 22syl131anc 1330 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌))
24 omndadd2d.2 . . . 4 (𝜑𝑌 𝑊)
259, 21, 10omndadd 28839 . . . 4 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑌𝐵𝑊𝐵𝑍𝐵) ∧ 𝑌 𝑊) → (𝑌 + 𝑍) (𝑊 + 𝑍))
261, 8, 16, 13, 24, 25syl131anc 1330 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) (𝑊 + 𝑍))
27 omndadd2d.c . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
289, 10cmncom 17974 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2927, 8, 13, 28syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
309, 10cmncom 17974 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ 𝑊𝐵𝑍𝐵) → (𝑊 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑊))
3127, 16, 13, 30syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑊 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑊))
3226, 29, 313brtr3d 4604 . 2 (𝜑 → (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
339, 21postr 16718 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌) ∧ (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)))
3433imp 443 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑌) ∧ (𝑍 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
354, 19, 23, 32, 34syl22anc 1318 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  lecple 15717  Posetcpo 16705  Tosetctos 16798  Mndcmnd 17059  CMndccmn 17958  oMndcomnd 28830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-nul 4708
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-iota 5750  df-fv 5794  df-ov 6526  df-poset 16711  df-toset 16799  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-cmn 17960  df-omnd 28832
This theorem is referenced by:  omndmul  28847  gsumle  28912
  Copyright terms: Public domain W3C validator