Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2rd 29486
Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1 = (le‘𝑀)
omndadd.2 + = (+g𝑀)
omndadd2d.m (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (𝜑𝑊𝐵)
omndadd2d.x (𝜑𝑋𝐵)
omndadd2d.y (𝜑𝑌𝐵)
omndadd2d.z (𝜑𝑍𝐵)
omndadd2d.1 (𝜑𝑋 𝑍)
omndadd2d.2 (𝜑𝑌 𝑊)
omndadd2rd.c (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2rd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 29482 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 29435 . . 3 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 29481 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 omndadd2d.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+g𝑀)
119, 10mndcl 17217 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
126, 7, 8, 11syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 omndadd2d.w . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
149, 10mndcl 17217 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
156, 7, 13, 14syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16 omndadd2d.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
179, 10mndcl 17217 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
186, 16, 13, 17syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
1912, 15, 183jca 1240 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20 omndadd2rd.c . . 3 (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
21 omndadd2d.2 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
22 omndadd.1 . . . 4 = (le‘𝑀)
239, 22, 10omndaddr 29484 . . 3 (((oppg𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌𝐵𝑊𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑌 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
2420, 8, 13, 7, 21, 23syl131anc 1336 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
25 omndadd2d.1 . . 3 (𝜑𝑋 𝑍)
269, 22, 10omndadd 29483 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
271, 7, 16, 13, 25, 26syl131anc 1336 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
289, 22postr 16869 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)))
2928imp 445 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
304, 19, 24, 27, 29syl22anc 1324 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  lecple 15864  Posetcpo 16856  Tosetctos 16949  Mndcmnd 17210  oppgcoppg 17691  oMndcomnd 29474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-plusg 15870  df-ple 15877  df-poset 16862  df-toset 16950  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-oppg 17692  df-omnd 29476
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  29526
  Copyright terms: Public domain W3C validator