Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2rd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omndadd2rd 30637
Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1 = (le‘𝑀)
omndadd.2 + = (+g𝑀)
omndadd2d.m (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w (𝜑𝑊𝐵)
omndadd2d.x (𝜑𝑋𝐵)
omndadd2d.y (𝜑𝑌𝐵)
omndadd2d.z (𝜑𝑍𝐵)
omndadd2d.1 (𝜑𝑋 𝑍)
omndadd2d.2 (𝜑𝑌 𝑊)
omndadd2rd.c (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
Assertion
Ref Expression
omndadd2rd (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
2 omndtos 30633 . . 3 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3 tospos 30572 . . 3 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
5 omndmnd 30632 . . . . 5 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
7 omndadd2d.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 omndadd2d.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
9 omndadd.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 omndadd.2 . . . . 5 + = (+g𝑀)
119, 10mndcl 17907 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
126, 7, 8, 11syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13 omndadd2d.w . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
149, 10mndcl 17907 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
156, 7, 13, 14syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16 omndadd2d.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
179, 10mndcl 17907 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
186, 16, 13, 17syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
1912, 15, 183jca 1120 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20 omndadd2rd.c . . 3 (𝜑 → (oppg𝑀) ∈ oMnd)
21 omndadd2d.2 . . 3 (𝜑𝑌 𝑊)
22 omndadd.1 . . . 4 = (le‘𝑀)
239, 22, 10omndaddr 30635 . . 3 (((oppg𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌𝐵𝑊𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑌 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
2420, 8, 13, 7, 21, 23syl131anc 1375 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊))
25 omndadd2d.1 . . 3 (𝜑𝑋 𝑍)
269, 22, 10omndadd 30634 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑋 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
271, 7, 16, 13, 25, 26syl131anc 1375 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))
289, 22postr 17551 . . 3 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊)))
2928imp 407 . 2 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
304, 19, 24, 27, 29syl22anc 834 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) (𝑍 + 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  lecple 16560  Posetcpo 17538  Tosetctos 17631  Mndcmnd 17899  oppgcoppg 18411  oMndcomnd 30625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-ple 16573  df-poset 17544  df-toset 17632  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-oppg 18412  df-omnd 30627
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  30751
  Copyright terms: Public domain W3C validator