Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oms0 30158
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
oms0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
21fveq1i 6154 . 2 (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
4 oms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5 0ss 3949 . . . . 5 ∅ ⊆ dom 𝑅
6 fdm 6013 . . . . . . 7 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
87unieqd 4417 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
95, 8syl5sseq 3637 . . . 4 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑄)
10 omsfval 30155 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
113, 4, 9, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
12 iccssxr 12205 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13 xrltso 11925 . . . . . 6 < Or ℝ*
14 soss 5018 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
1512, 13, 14mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
17 0e0iccpnf 12232 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
19 oms.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
2019snssd 4314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
21 p0ex 4818 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ V
2221elpw 4141 . . . . . . . . 9 ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
2320, 22sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
24 0ss 3949 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ {∅}
25 0ex 4755 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
26 snct 29352 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {∅} ≼ ω
2824, 27pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
2923, 28jctir 560 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
30 unieq 4415 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = {∅} → 𝑧 = {∅})
3130sseq2d 3617 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ {∅}))
32 breq1 4621 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
3331, 32anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3433elrab 3350 . . . . . . 7 ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3529, 34sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
36 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
3736fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = (𝑅‘∅))
38 oms.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
3938adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
4037, 39eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = 0)
4140, 19, 18esumsn 29926 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦) = 0)
4241eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
43 esumeq1 29895 . . . . . . . 8 (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
4443eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → (0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ↔ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦)))
4544rspcev 3298 . . . . . 6 (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4635, 42, 45syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
47 0xr 10037 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
48 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4948elrnmpt 5337 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5146, 50sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
52 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
53 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5453nfrn 5333 . . . . . . . . 9 𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5554nfcri 2755 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5652, 55nfan 1825 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
57 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
58 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
59 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
60 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
61 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
6261nfesum1 29901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
6360, 62nfmpt 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6463nfrn 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6564nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6659, 65nfan 1825 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
67 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
6866, 67nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
6962nfeq2 2776 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
7068, 69nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
714ad4antr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
72 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
73 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7472, 73sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
757pweqd 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7675ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7774, 76eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
7877elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
79 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
8078, 79sseldd 3588 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
8171, 80ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8281ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → (𝑦𝑥 → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
8370, 82ralrimi 2952 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8461esumcl 29891 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8558, 83, 84sylancr 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8657, 85eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
87 vex 3192 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
8848elrnmpt 5337 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9089biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9190adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9256, 86, 91r19.29af 3070 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
93 pnfxr 10043 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
94 iccgelb 12179 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
9547, 93, 94mp3an12 1411 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9692, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
9712, 92sseldi 3585 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
98 xrlenlt 10054 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
9998bicomd 213 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
10047, 97, 99sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
10196, 100mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
10216, 18, 51, 101infmin 8351 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
10311, 102eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
1042, 103syl5eq 2667 1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   cuni 4407   class class class wbr 4618  cmpt 4678   Or wor 4999  dom cdm 5079  ran crn 5080  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  ωcom 7019  cdom 7904  infcinf 8298  0cc0 9887  +∞cpnf 10022  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  [,]cicc 12127  Σ*cesum 29888  toOMeascoms 30152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-xadd 11898  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-hash 13065  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-ordt 16089  df-xrs 16090  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-ps 17128  df-tsr 17129  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-ntr 20743  df-nei 20821  df-cn 20950  df-haus 21038  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-tsms 21849  df-esum 29889  df-oms 30153
This theorem is referenced by:  omsmeas  30184
  Copyright terms: Public domain W3C validator