Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmeas 30513
 Description: The restriction of a constructed outer measure to Catatheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omsmeas.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
omsmeas.s 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
omsmeas.o (𝜑𝑄𝑉)
omsmeas.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmeas.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
omsmeas.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
omsmeas (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem omsmeas
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmeas.o . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑉)
2 omsmeas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
3 omsf 30486 . . . . . 6 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
5 omsmeas.m . . . . . . 7 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (toOMeas‘𝑅))
7 fdm 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
98eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = dom 𝑅)
109unieqd 4478 . . . . . . 7 (𝜑 𝑄 = dom 𝑅)
1110pweqd 4196 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑄 = 𝒫 dom 𝑅)
126, 11feq12d 6071 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞)))
134, 12mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
14 omsmeas.s . . . . 5 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀)
15 uniexg 6997 . . . . . . 7 (𝑄𝑉 𝑄 ∈ V)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑄 ∈ V)
1716, 13carsgcl 30494 . . . . 5 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 𝑄)
1814, 17syl5eqss 3682 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
1913, 18fssresd 6109 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
20 omsmeas.d . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
21 omsmeas.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
225, 1, 2, 20, 21oms0 30487 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
2316, 13, 220elcarsg 30497 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
2423, 14syl6eleqr 2741 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
25 fvres 6245 . . . . 5 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅))
2726, 22eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑆)‘∅) = 0)
28 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑔𝑓
29 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑓𝑔
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔𝑓 = 𝑔)
3128, 29, 30cbvdisj 4662 . . . . . . 7 (Disj 𝑓𝑒 𝑓Disj 𝑔𝑒 𝑔)
3231anbi2i 730 . . . . . 6 ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
331ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄𝑉)
342ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
35 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆)
3635elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
3718ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑄)
3836, 37sstrd 3646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 𝑄)
3938sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑄)
4039elpwid 4203 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓 𝑄)
41 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω)
425, 33, 34, 40, 41omssubadd 30490 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀 𝑓𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
4316ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ V)
4413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
4522ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0)
46 uniiun 4605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
4746fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 𝑥) = (𝑀 𝑦𝑥 𝑦)
4813ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
4923ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
50 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄)
51 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5250, 51sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑄)
5352elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 𝑄)
54 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → 𝑥 ≼ ω)
555, 48, 49, 53, 54omssubadd 30490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑦𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5647, 55syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
57563adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
58573adant1r 1359 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑄) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
5913ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑄𝑉)
6023ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
61 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑥𝑦)
62 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑄𝑦 𝑄)
63623ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → 𝑦 𝑄)
645, 59, 60, 61, 63omsmon 30488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
65643adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
66653adant1r 1359 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑄) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
67 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆𝑒𝑆)
6867ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
6968, 14syl6sseq 3684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
7043, 44, 45, 58, 66, 41, 69carsgclctun 30511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
7170, 14syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → 𝑒𝑆)
72 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
73 uniiun 4605 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 = 𝑓𝑒 𝑓
7473fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓)
7572, 74syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 ( 𝑒𝑆 → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
7671, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑓𝑒 𝑓))
77 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑓((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔))
7868sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑓𝑆)
79 fvres 6245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑆 → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
8180ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) = (𝑀𝑓))
8277, 81esumeq2d 30227 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
8342, 76, 823brtr4d 4717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
84 snex 4938 . . . . . . . . . . . . 13 {∅} ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → {∅} ∈ V)
8644adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → 𝑀:𝒫 𝑄⟶(0[,]+∞))
8786, 39ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
88 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅)
8988fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀𝑓) = (𝑀‘∅))
9089, 45sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀𝑓) = 0)
9135, 85, 87, 90esumpad2 30246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) = Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓))
92 neldifsnd 4355 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖ {∅}))
93 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒
94 ssdomg 8043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒))
9535, 93, 94mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)
96 domtr 8050 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9795, 41, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ ω)
9869ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
99 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔𝑒 𝑔)
100 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑔
101 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔𝑦
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑦𝑔 = 𝑦)
103100, 101, 102cbvdisj 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑔𝑒 𝑔Disj 𝑦𝑒 𝑦)
10499, 103sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦𝑒 𝑦)
105 disjss1 4658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (Disj 𝑦𝑒 𝑦Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦))
10693, 104, 105mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)
10743, 44, 45, 58, 92, 97, 98, 106, 66carsggect 30508 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
10891, 107eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})))
109 unidif0 4868 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∖ {∅}) = 𝑒
110109fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (𝑀 (𝑒 ∖ {∅})) = (𝑀 𝑒)
111108, 110syl6breq 4726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒(𝑀𝑓) ≤ (𝑀 𝑒))
11271, 72syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = (𝑀 𝑒))
113111, 82, 1123brtr4d 4717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))
11483, 113jca 553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒)))
115 iccssxr 12294 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
11619ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
117116, 71ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ (0[,]+∞))
118115, 117sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ*)
119116adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → (𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
120119, 78ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓𝑒) → ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
121120ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
122 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑓𝑒
123122esumcl 30220 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓𝑒 ((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
12435, 121, 123syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
125115, 124sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*)
126 xrletri3 12023 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
127118, 125, 126syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀𝑆)‘ 𝑒) ≤ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀𝑆)‘ 𝑒))))
128114, 127mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔𝑒 𝑔)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
12932, 128sylan2b 491 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓)) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))
130129ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
131130ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))
13219, 27, 1313jca 1261 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓))))
13316, 13, 22, 56, 64carsgsiga 30512 . . . 4 (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
13414, 133syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄))
135 elrnsiga 30317 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑄) → 𝑆 ran sigAlgebra)
136 ismeas 30390 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
137134, 135, 1363syl 18 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓𝑒 𝑓) → ((𝑀𝑆)‘ 𝑒) = Σ*𝑓𝑒((𝑀𝑆)‘𝑓)))))
138132, 137mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217  sigAlgebracsiga 30298  measurescmeas 30386  toOMeascoms 30481  toCaraSigaccarsg 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218  df-siga 30299  df-meas 30387  df-oms 30482  df-carsg 30492 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator