Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmon 30488
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a (𝜑𝐴𝐵)
omsmon.b (𝜑𝐵 𝑄)
Assertion
Ref Expression
omsmon (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴𝐵)
3 sstr2 3643 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
54anim1d 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω) → (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)))
65ss2rabdv 3716 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7 resmpt 5484 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
9 resss 5457 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
108, 9syl6eqssr 3689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
11 rnss 5386 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
13 oms.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
1413ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
1715, 16sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 elpwi 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑥 ⊆ dom 𝑅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
20 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
2319, 22sseqtrd 3674 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
24 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2523, 24sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
2614, 25ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2726ralrimiva 2995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
29 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥
3029esumcl 30220 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3128, 30mpan 706 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3227, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3332ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
34 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
3534rnmptss 6432 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3633, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3712, 36xrge0infssd 29654 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
38 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
39 omsmon.b . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑄)
401, 39sstrd 3646 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑄)
41 omsfval 30484 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4238, 13, 40, 41syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
43 omsfval 30484 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4438, 13, 39, 43syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4537, 42, 443brtr4d 4717 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
46 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
4746fveq1i 6230 . 2 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
4846fveq1i 6230 . 2 (𝑀𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
4945, 47, 483brtr4g 4719 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  infcinf 8388  0cc0 9974  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217  toOMeascoms 30481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-esum 30218  df-oms 30482
This theorem is referenced by:  omsmeas  30513
  Copyright terms: Public domain W3C validator