Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmon 29521
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a (𝜑𝐴𝐵)
omsmon.b (𝜑𝐵 𝑄)
Assertion
Ref Expression
omsmon (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴𝐵)
3 sstr2 3574 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
54anim1d 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω) → (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)))
65ss2rabdv 3645 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7 resmpt 5356 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
9 resss 5329 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
108, 9syl6eqssr 3618 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
11 rnss 5262 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
13 oms.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
1413ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
1715, 16sseldi 3565 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 elpwi 4116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑥 ⊆ dom 𝑅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
20 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
2221ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
2319, 22sseqtrd 3603 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
24 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2523, 24sseldd 3568 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
2614, 25ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2726ralrimiva 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28 vex 3175 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
29 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥
3029esumcl 29253 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3128, 30mpan 701 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3227, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3332ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
34 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
3534rnmptss 6284 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3633, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3712, 36xrge0infssd 28750 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
38 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
39 omsmon.b . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑄)
401, 39sstrd 3577 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑄)
41 omsfval 29517 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4238, 13, 40, 41syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
43 omsfval 29517 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4438, 13, 39, 43syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4537, 42, 443brtr4d 4609 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
46 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
4746fveq1i 6089 . 2 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
4846fveq1i 6089 . 2 (𝑀𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
4945, 47, 483brtr4g 4611 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  ran crn 5029  cres 5030  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6935  cdom 7817  infcinf 8208  0cc0 9793  +∞cpnf 9928   < clt 9931  cle 9932  [,]cicc 12008  Σ*cesum 29250  toOMeascoms 29514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-hash 12938  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-ordt 15933  df-xrs 15934  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-ps 16972  df-tsr 16973  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-ntr 20582  df-nei 20660  df-cn 20789  df-haus 20877  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-tsms 21688  df-esum 29251  df-oms 29515
This theorem is referenced by:  omsmeas  29546
  Copyright terms: Public domain W3C validator