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Theorem omssubadd 29495
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
omssubadd.b (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnenom 12596 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 7869 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 domentr 7878 . . . . . 6 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
51, 3, 4sylancl 692 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
6 brdomi 7829 . . . . 5 (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
87adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
9 simplll 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10 ctex 7833 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
14 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑋
1514nfesum1 29235 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)
16 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦
1715, 16nfel 2762 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1815 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
19 nfv 1829 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑓:𝑋1-1→ℕ
2018, 19nfan 1815 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
21 nfv 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1815 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
24 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
2511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑄𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28 omsf 29491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
3029feq1i 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
35 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
3627, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
3736unieqd 4376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → dom 𝑅 = 𝑄)
3934, 38sseqtr4d 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 dom 𝑅)
40 uniexg 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄𝑉 𝑄 ∈ V)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 𝑄 ∈ V)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄 ∈ V)
43 ssexg 4727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4434, 42, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ V)
45 elpwg 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4739, 46mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
4833, 47ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4948adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5118, 25, 49, 50esumcvgre 29286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5251adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5352adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
54 rpssre 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ ℝ
55 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
56 2rp 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
58 df-f1 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun 𝑓))
5958simplbi 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
6160ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ)
6261nnzd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
6357, 62rpexpcld 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6463adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6555, 64rpdivcld 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
6654, 65sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
6766adantl3r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
68 rexadd 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
6953, 67, 68syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
709, 48sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
71 dfrp2 28728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (0(,)+∞)
72 ioossicc 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7371, 72eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
7473, 65sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7574adantl3r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7670, 75xrge0addcld 28723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7769, 76eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7854, 55sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7978adantl3r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
8054, 63sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8180adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8281adantl3r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
83 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8483rpgt0d 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 𝑒)
85 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ)
8762adantllr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
8887adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
89 2pos 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 2)
91 expgt0 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9286, 88, 90, 91syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9379, 82, 84, 92divgt0d 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
9467, 53ltaddposd 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
9593, 94mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
9629fveq1i 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
9726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄𝑉)
9827adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
99 omsfval 29489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
10097, 98, 34, 99syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
10196, 100syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
1029, 101sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
103102eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
104103breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
10595, 104mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
10677, 105jca 552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
107 iccssxr 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
108 xrltso 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
109 soss 4967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
110107, 108, 109mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
111 biid 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
112110, 111mpbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → < Or (0[,]+∞))
114 omscl 29490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
11597, 98, 47, 114syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
116 xrge0infss 28721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
118113, 117infglb 8256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑋) → ((((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
119118imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
12023, 24, 106, 119syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
121 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
122 esumex 29224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
123121, 122elrnmpti 5284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
124123anbi1i 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
125 r19.41v 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
126124, 125bitr4i 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
127126exbii 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
128 df-rex 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
129 rexcom4 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
130127, 128, 1293bitr4i 290 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
131 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
132 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
133131, 132sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
134133imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
135134exlimiv 1844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
136135reximi 2993 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
137130, 136sylbi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
138120, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
139 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
141140ss2rabi 3646 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
142 rexss 3631 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
144 unieq 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 𝑧 = 𝑥)
145144sseq2d 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 𝑧𝐴 𝑥))
146 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
147145, 146anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
148147elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
149148simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω))
150149simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥))
152151anim1d 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
153152reximdv 2998 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
154143, 153syl5bi 230 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
155138, 154mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
156155ex 448 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
15722, 156ralrimi 2939 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
158 unieq 4374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → 𝑥 = (𝑔𝑦))
159158sseq2d 3595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (𝐴 𝑥𝐴 (𝑔𝑦)))
160 esumeq1 29229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
161160breq1d 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
162159, 161anbi12d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑔𝑦) → ((𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
163162ac6sg 9170 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))))
164163imp 443 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
16512, 157, 164syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
1669ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
16739ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
168 iunss 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
169167, 168sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
17044ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
171 iunexg 7012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V) → 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
17211, 170, 171syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
173 elpwg 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
175169, 174mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
17632, 175ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
177107, 176sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
178166, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
179 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
18025ad4antr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
181 fex 6372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑔 ∈ V)
182179, 180, 181syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
183 rnexg 6967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
184 uniexg 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
185182, 183, 1843syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ V)
186 simp-5l 803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
18727ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
188 frn 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
189 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
190188, 189syl6ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
191190unissd 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 𝒫 dom 𝑅)
192 unipw 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
193191, 192syl6sseq 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
194193adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
19536adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
196194, 195sseqtrd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔𝑄)
197196sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑐𝑄)
198187, 197ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → (𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
199198ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200186, 179, 199syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ran 𝑔
202201esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
203185, 200, 202syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
204107, 203sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*)
205 simp-5r 804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
206205rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
207 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
208207rpxrd 11705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
209206, 208xaddcld 11960 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
210188ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
211 sstr 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
212189, 211mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
213 sspwuni 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
214212, 213sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
215210, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
216 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
217216ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
218166, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
219 fnct 28682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
220 rnct 28685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
221219, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
222 dfss3 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
223222biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
224 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
225224elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑤 ≼ ω))
226225simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
227226ralimi 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
228223, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
229 unictb 9253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
230221, 228, 229syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ≼ ω)
231217, 218, 210, 230syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ≼ ω)
232 ctex 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ∈ V)
233 elpwg 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ∈ V → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
234231, 232, 2333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
235215, 234mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
236 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝐴 (𝑔𝑦))
237236ralimi 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦))
238 fvssunirn 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
239238unissi 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
240 sstr 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔) → 𝐴 ran 𝑔)
241239, 240mpan2 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 (𝑔𝑦) → 𝐴 ran 𝑔)
242241ralimi 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
243 iunss 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
244242, 243sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
245237, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
246245adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
247235, 246, 231jca32 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
248 unieq 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = ran 𝑔 𝑧 = ran 𝑔)
249248sseq2d 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔))
250 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ran 𝑔 ≼ ω))
251249, 250anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = ran 𝑔 → (( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
252251elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
253247, 252sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
254 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑤 → (𝑅𝑐) = (𝑅𝑤))
255254cbvesumv 29238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)
256 esumeq1 29229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ran 𝑔 → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
257256eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ran 𝑔 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)))
258257rspcev 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
259253, 255, 258sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
260 esumex 29224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V
261 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
262261elrnmpt 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
263260, 262ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
264259, 263sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
265112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
266 omscl 29490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
26726, 27, 175, 266syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
268 xrge0infss 28721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
270265, 269inflb 8255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
27129fveq1i 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴)
272169, 37sseqtrd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 𝑄)
273 omsfval 29489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
27426, 27, 272, 273syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
275271, 274syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
276275breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
277276notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
278270, 277sylibrd 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
279166, 264, 278sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
280 biid 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
281279, 280sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
282 xrlenlt 9954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
283178, 204, 282syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
284281, 283mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐))
285 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
28622, 285nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
287 nfra1 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
288286, 287nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
289 simp-6l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
290 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
291 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
29227ad3antrrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
293 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
294 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑦𝑋)
295293, 294ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
296189, 295sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
297296elpwid 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ dom 𝑅)
298292, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → dom 𝑅 = 𝑄)
299297, 298sseqtrd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ 𝑄)
300 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔𝑦))
301299, 300sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤𝑄)
302292, 301ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303302ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝑦) ∈ V
305 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤(𝑔𝑦)
306305esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑔𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
307304, 306mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308303, 307syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309289, 290, 291, 308syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
310309ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
311288, 310ralrimi 2939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
31214esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
313180, 311, 312syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
314107, 313sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
315 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤(𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
316 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
317 fniunfv 6387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
318316, 216, 3173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
319315, 318esumeq1d 29230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
32011adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
321304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑔𝑦) ∈ V)
322320, 321, 302esumiun 29289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
323319, 322eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
3249, 323sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
325324adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
326255, 325syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
327289, 291, 48syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
328 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
329328, 291, 75syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
330327, 329xrge0addcld 28723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
331330ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
332288, 331ralrimi 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
33314esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
334180, 332, 333syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
335107, 334sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
336218, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
337 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ))
338 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
339337, 338, 51syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
340339adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
34167adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
342341adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
343 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
344343adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
34568breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
346345biimpar 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
347340, 342, 344, 346syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
348347ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
349337simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
350 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
351349, 350, 338, 308syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
352107, 351sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
353339rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
354341rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
355353, 354xaddcld 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
356 xrltle 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
357352, 355, 356syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
358348, 357syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
359358adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
360359ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (𝑦𝑋 → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
361286, 360ralrimi 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
362 ralim 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
363361, 362syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
364363imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
365364r19.21bi 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
366288, 14, 336, 309, 330, 365esumlef 29257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
367166, 48sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
368288, 14, 336, 367, 329esumaddf 29256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
369329ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
370288, 369ralrimi 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
37114esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
372180, 370, 371syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
373107, 372sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
374 simp-4r 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
375 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
376375rnex 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
377376a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
378 frn 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋⟶ℕ → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
37960, 378syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
380379adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
381380sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
38256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
383 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
384383nnzd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
385382, 384rpexpcld 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
386385rpreccld 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38773, 386sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388387adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
389381, 388syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
390389ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
391 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧ran 𝑓
392391esumcl 29225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
393377, 390, 392syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
394107, 393sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
395 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
396 rexr 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
397395, 396ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
398397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
39973sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0[,]+∞))
400399adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
401 elxrge0 12108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
402400, 401sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
403 nfv 1829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
404 nnex 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ ∈ V
405404a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
406403, 405, 387, 379esummono 29249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
407 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
408407oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
409 ioossico 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
41071, 409eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + ⊆ (0[,)+∞)
411410, 386sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
412 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
413 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
414413oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
415414oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
416 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
417 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 / (2↑𝑧)) ∈ V
418417a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
419412, 415, 416, 418fvmptd 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
420419adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
421 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
422 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
423422geo2lim 14391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
424421, 423ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
425424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
426395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
427408, 411, 420, 425, 426esumcvgsum 29283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
428 geoihalfsum 14399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
429427, 428syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
430406, 429breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
431430adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
432 xlemul2a 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
433394, 398, 402, 431, 432syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
43413, 19nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
435434, 21nfan 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
43678recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
43780recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
438437adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
439 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
440439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℂ)
441 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ≠ 0
442441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ≠ 0)
443440, 442, 62expne0d 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
444443adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
445436, 438, 444divrecd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
446 1rp 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
448447, 63rpdivcld 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
44954, 448sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
450449adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
451 rexmul 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
45278, 450, 451syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
453445, 452eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
454453ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
455435, 454esumeq2d 29232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
45611ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
45773, 448sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
458457adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
459410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
460459sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
461456, 458, 460esummulc2 29277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
462 nfcv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦(1 / (2↑𝑧))
463 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓𝑦)))
464463oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓𝑦))))
46511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
46658simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun 𝑓)
46759feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
468467cnveqd 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
469468funeqd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (Fun 𝑓 ↔ Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦))))
470466, 469mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
471470adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
472462, 434, 14, 464, 465, 471, 457, 61esumc 29246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
473 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
474 fnrnfv 6137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
47560, 473, 4743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
476403, 475esumeq1d 29230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
477472, 476eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
478477adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
479478oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
480455, 461, 4793eqtr2rd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
481402simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
482 xmulid1 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
483481, 482syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
484433, 480, 4833brtr3d 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
485166, 374, 207, 484syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
486 xleadd2a 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
487373, 208, 206, 485, 486syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
488368, 487eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
489314, 335, 209, 366, 488xrletrd 11828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
490204, 314, 209, 326, 489xrletrd 11828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
491178, 204, 209, 284, 490xrletrd 11828 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
492207rpred 11704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
493 rexadd 11896 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
494205, 492, 493syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
495491, 494breqtrd 4603 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
496495anasss 676 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
497496ex 448 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
498497exlimdv 1847 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
499165, 498mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
500499ralrimiva 2948 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
501 xralrple 11869 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
502177, 501sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
503502adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
504500, 503mpbird 245 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
505504ex 448 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
506505exlimdv 1847 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
5078, 506mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
508177adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
509 pnfge 11801 . . . 4 ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
510508, 509syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
51148ralrimiva 2948 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
51214esumcl 29225 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
51311, 511, 512syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
514 xrge0nre 12104 . . . 4 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
515513, 514sylan 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
516510, 515breqtrrd 4605 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
517507, 516pm2.61dan 827 1 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {cab 2595  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539  𝒫 cpw 4107   cuni 4366   ciun 4449   class class class wbr 4577  cmpt 4637   Or wor 4948  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1wf1 5787  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934  cen 7815  cdom 7816  infcinf 8207  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  cz 11210  +crp 11664   +𝑒 cxad 11776   ·e cxmu 11777  (,)cioo 12002  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  seqcseq 12618  cexp 12677  cli 14009  Σcsu 14210  Σ*cesum 29222  toOMeascoms 29486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-reg 8357  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-ac2 9145  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-r1 8487  df-rank 8488  df-card 8625  df-acn 8628  df-ac 8799  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-ordt 15930  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-plusf 17010  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-lmod 18634  df-scaf 18635  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-tmd 21628  df-tgp 21629  df-tsms 21682  df-trg 21715  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-ii 22419  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-esum 29223  df-oms 29487
This theorem is referenced by:  omsmeas  29518
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