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Theorem omssubadd 30336
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
omssubadd.b (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnenom 12762 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 7991 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 domentr 8000 . . . . . 6 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
51, 3, 4sylancl 693 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
6 brdomi 7951 . . . . 5 (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
9 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10 ctex 7955 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
14 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑋
1514nfesum1 30076 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)
16 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦
1715, 16nfel 2774 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1826 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
19 nfv 1841 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑓:𝑋1-1→ℕ
2018, 19nfan 1826 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
21 nfv 1841 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1826 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
2511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑄𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28 omsf 30332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
3029feq1i 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
35 fdm 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
3627, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
3736unieqd 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → dom 𝑅 = 𝑄)
3934, 38sseqtr4d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 dom 𝑅)
40 uniexg 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄𝑉 𝑄 ∈ V)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 𝑄 ∈ V)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄 ∈ V)
43 ssexg 4795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4434, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ V)
45 elpwg 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4739, 46mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
4833, 47ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4948adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5118, 25, 49, 50esumcvgre 30127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5251adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5352adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
54 rpssre 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ ℝ
55 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
56 2rp 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
58 df-f1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun 𝑓))
5958simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
6160ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ)
6261nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
6357, 62rpexpcld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6463adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6555, 64rpdivcld 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
6654, 65sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
6766adantl3r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
68 rexadd 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
6953, 67, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
709, 48sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
71 dfrp2 29506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (0(,)+∞)
72 ioossicc 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7371, 72eqsstri 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
7473, 65sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7574adantl3r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7670, 75xrge0addcld 29501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7769, 76eqeltrrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7854, 55sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7978adantl3r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
8054, 63sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8180adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8281adantl3r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
83 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8483rpgt0d 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 𝑒)
85 2re 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ)
8762adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
8887adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
89 2pos 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 2)
91 expgt0 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9286, 88, 90, 91syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9379, 82, 84, 92divgt0d 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
9467, 53ltaddposd 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
9593, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
9629fveq1i 6179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
9726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄𝑉)
9827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
99 omsfval 30330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
10097, 98, 34, 99syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
10196, 100syl5eq 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
1029, 101sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
103102eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
104103breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
10595, 104mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
10677, 105jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
107 iccssxr 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
108 xrltso 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
109 soss 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
110107, 108, 109mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
111 biid 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
112110, 111mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → < Or (0[,]+∞))
114 omscl 30331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
11597, 98, 47, 114syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
116 xrge0infss 29499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
118113, 117infglb 8381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑋) → ((((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
119118imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
12023, 24, 106, 119syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
121 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
122 esumex 30065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
123121, 122elrnmpti 5365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
124123anbi1i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
125 r19.41v 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
126124, 125bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
127126exbii 1772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
128 df-rex 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
129 rexcom4 3220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
130127, 128, 1293bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
131 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
132 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
133131, 132sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
134133imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
135134exlimiv 1856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
136135reximi 3008 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
137130, 136sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
138120, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
139 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
141140ss2rabi 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
142 rexss 3661 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
144 unieq 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 𝑧 = 𝑥)
145144sseq2d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 𝑧𝐴 𝑥))
146 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
147145, 146anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
148147elrab 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
149148simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω))
150149simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥)
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥))
152151anim1d 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
153152reximdv 3013 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
154143, 153syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
155138, 154mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
156155ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
15722, 156ralrimi 2954 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
158 unieq 4435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → 𝑥 = (𝑔𝑦))
159158sseq2d 3625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (𝐴 𝑥𝐴 (𝑔𝑦)))
160 esumeq1 30070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
161160breq1d 4654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
162159, 161anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑔𝑦) → ((𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
163162ac6sg 9295 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))))
164163imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
16512, 157, 164syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
1669ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
16739ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
168 iunss 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
169167, 168sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
17044ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
171 iunexg 7128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V) → 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
17211, 170, 171syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
173 elpwg 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
175169, 174mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
17632, 175ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
177107, 176sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
178166, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
179 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
18025ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
181 fex 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑔 ∈ V)
182179, 180, 181syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
183 rnexg 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
184 uniexg 6940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
185182, 183, 1843syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ V)
186 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
18727ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
188 frn 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
189 ssrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
190188, 189syl6ss 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
191190unissd 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 𝒫 dom 𝑅)
192 unipw 4909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
193191, 192syl6sseq 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
194193adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
19536adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
196194, 195sseqtrd 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔𝑄)
197196sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑐𝑄)
198187, 197ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → (𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
199198ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
200186, 179, 199syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ran 𝑔
202201esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
203185, 200, 202syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
204107, 203sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*)
205 simp-5r 808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
206205rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
207 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
208207rpxrd 11858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
209206, 208xaddcld 12116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
210188ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
211 sstr 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
212189, 211mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
213 sspwuni 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
214212, 213sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
215210, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
216 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
217216ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
218166, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
219 fnct 9344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
220 rnct 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
221219, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
222 dfss3 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
223222biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
224 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
225224elrab 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑤 ≼ ω))
226225simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
227226ralimi 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
228223, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
229 unictb 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
230221, 228, 229syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ≼ ω)
231217, 218, 210, 230syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ≼ ω)
232 ctex 7955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ∈ V)
233 elpwg 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ∈ V → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
234231, 232, 2333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
235215, 234mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
236 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝐴 (𝑔𝑦))
237236ralimi 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦))
238 fvssunirn 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
239238unissi 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
240 sstr 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔) → 𝐴 ran 𝑔)
241239, 240mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 (𝑔𝑦) → 𝐴 ran 𝑔)
242241ralimi 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
243 iunss 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
244242, 243sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
245237, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
246245adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
247235, 246, 231jca32 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
248 unieq 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = ran 𝑔 𝑧 = ran 𝑔)
249248sseq2d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔))
250 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ran 𝑔 ≼ ω))
251249, 250anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = ran 𝑔 → (( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
252251elrab 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
253247, 252sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
254 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑤 → (𝑅𝑐) = (𝑅𝑤))
255254cbvesumv 30079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)
256 esumeq1 30070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = ran 𝑔 → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
257256eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ran 𝑔 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)))
258257rspcev 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
259253, 255, 258sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
260 esumex 30065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V
261 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
262261elrnmpt 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
263260, 262ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
264259, 263sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
265112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
266 omscl 30331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
26726, 27, 175, 266syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
268 xrge0infss 29499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
269267, 268syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
270265, 269inflb 8380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
27129fveq1i 6179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴)
272169, 37sseqtrd 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 𝑄)
273 omsfval 30330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
27426, 27, 272, 273syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
275271, 274syl5eq 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
276275breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
277276notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
278270, 277sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
279166, 264, 278sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
280 biid 251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
281279, 280sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
282 xrlenlt 10088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
283178, 204, 282syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
284281, 283mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐))
285 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
28622, 285nfan 1826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
287 nfra1 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
288286, 287nfan 1826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
289 simp-6l 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
290 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
291 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
29227ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
293 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
294 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑦𝑋)
295293, 294ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
296189, 295sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
297296elpwid 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ dom 𝑅)
298292, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → dom 𝑅 = 𝑄)
299297, 298sseqtrd 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ 𝑄)
300 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔𝑦))
301299, 300sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤𝑄)
302292, 301ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303302ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝑦) ∈ V
305 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤(𝑔𝑦)
306305esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑔𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
307304, 306mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
308303, 307syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309289, 290, 291, 308syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
310309ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
311288, 310ralrimi 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
31214esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
313180, 311, 312syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
314107, 313sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
315 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤(𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
316 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
317 fniunfv 6490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
318316, 216, 3173syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
319315, 318esumeq1d 30071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
32011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
321304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑔𝑦) ∈ V)
322320, 321, 302esumiun 30130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
323319, 322eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
3249, 323sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
325324adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
326255, 325syl5eqbr 4679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
327289, 291, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
328 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
329328, 291, 75syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
330327, 329xrge0addcld 29501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
331330ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
332288, 331ralrimi 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
33314esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
334180, 332, 333syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
335107, 334sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
336218, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
337 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ))
338 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
339337, 338, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
340339adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
34167adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
342341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
343 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
344343adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
34568breq2d 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
346345biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
347340, 342, 344, 346syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
348347ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
349337simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
350 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
351349, 350, 338, 308syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
352107, 351sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
353339rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
354341rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
355353, 354xaddcld 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
356 xrltle 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
357352, 355, 356syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
358348, 357syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
359358adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
360359ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (𝑦𝑋 → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
361286, 360ralrimi 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
362 ralim 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
363361, 362syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
364363imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
365364r19.21bi 2929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
366288, 14, 336, 309, 330, 365esumlef 30098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
367166, 48sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
368288, 14, 336, 367, 329esumaddf 30097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
369329ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
370288, 369ralrimi 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
37114esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
372180, 370, 371syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
373107, 372sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
374 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
375 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
376375rnex 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
377376a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
378 frn 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋⟶ℕ → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
37960, 378syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
380379adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
381380sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
38256a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
383 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
384383nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
385382, 384rpexpcld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
386385rpreccld 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38773, 386sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388387adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
389381, 388syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
390389ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
391 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧ran 𝑓
392391esumcl 30066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
393377, 390, 392syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
394107, 393sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
395 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
396 rexr 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
397395, 396ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
398397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
39973sseli 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0[,]+∞))
400399adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
401 elxrge0 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
402400, 401sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
403 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
404 nnex 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ ∈ V
405404a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
406403, 405, 387, 379esummono 30090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
407 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
408407oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
409 ioossico 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
41071, 409eqsstri 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + ⊆ (0[,)+∞)
411410, 386sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
412 eqidd 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
413 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
414413oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
415414oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
416 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
417 ovexd 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
418412, 415, 416, 417fvmptd 6275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
419418adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
420 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
421 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
422421geo2lim 14587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
423420, 422ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
424423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
425395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
426408, 411, 419, 424, 425esumcvgsum 30124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
427 geoihalfsum 14595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
428426, 427syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
429406, 428breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
430429adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
431 xlemul2a 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
432394, 398, 402, 430, 431syl31anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
43313, 19nfan 1826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
434433, 21nfan 1826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
43578recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
43680recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
437436adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
438 2cn 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℂ)
440 2ne0 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ≠ 0
441440a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ≠ 0)
442439, 441, 62expne0d 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
443442adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
444435, 437, 443divrecd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
445 1rp 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
447446, 63rpdivcld 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
44854, 447sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
449448adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
450 rexmul 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
45178, 449, 450syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
452444, 451eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
453452ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
454434, 453esumeq2d 30073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
45511ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
45673, 447sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
457456adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
458410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
459458sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
460455, 457, 459esummulc2 30118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
461 nfcv 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦(1 / (2↑𝑧))
462 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓𝑦)))
463462oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓𝑦))))
46411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
46558simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun 𝑓)
46659feqmptd 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
467466cnveqd 5287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
468467funeqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (Fun 𝑓 ↔ Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦))))
469465, 468mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
470469adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
471461, 433, 14, 463, 464, 470, 456, 61esumc 30087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
472 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
473 fnrnfv 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
47460, 472, 4733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
475403, 474esumeq1d 30071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
476471, 475eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
477476adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
478477oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
479454, 460, 4783eqtr2rd 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
480402simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
481 xmulid1 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
482480, 481syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
483432, 479, 4823brtr3d 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
484166, 374, 207, 483syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
485 xleadd2a 12069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
486373, 208, 206, 484, 485syl31anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
487368, 486eqbrtrd 4666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
488314, 335, 209, 366, 487xrletrd 11978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
489204, 314, 209, 326, 488xrletrd 11978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
490178, 204, 209, 284, 489xrletrd 11978 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
491207rpred 11857 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
492 rexadd 12048 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
493205, 491, 492syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
494490, 493breqtrd 4670 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
495494anasss 678 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
496495ex 450 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
497496exlimdv 1859 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
498165, 497mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
499498ralrimiva 2963 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
500 xralrple 12021 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
501177, 500sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
502501adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
503499, 502mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
504503ex 450 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
505504exlimdv 1859 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
5068, 505mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
507177adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
508 pnfge 11949 . . . 4 ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
509507, 508syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
51048ralrimiva 2963 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
51114esumcl 30066 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
51211, 510, 511syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
513 xrge0nre 12262 . . . 4 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
514512, 513sylan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
515509, 514breqtrrd 4672 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
516506, 515pm2.61dan 831 1 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  {cab 2606  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  Vcvv 3195  wss 3567  𝒫 cpw 4149   cuni 4427   ciun 4511   class class class wbr 4644  cmpt 4720   Or wor 5024  ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  Fun wfun 5870   Fn wfn 5871  wf 5872  1-1wf1 5873  cfv 5876  (class class class)co 6635  ωcom 7050  cen 7937  cdom 7938  infcinf 8332  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  cz 11362  +crp 11817   +𝑒 cxad 11929   ·e cxmu 11930  (,)cioo 12160  [,)cico 12162  [,]cicc 12163  seqcseq 12784  cexp 12843  cli 14196  Σcsu 14397  Σ*cesum 30063  toOMeascoms 30327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-reg 8482  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-r1 8612  df-rank 8613  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-ordt 16142  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-ps 17181  df-tsr 17182  df-plusf 17222  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-abv 18798  df-lmod 18846  df-scaf 18847  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-tmd 21857  df-tgp 21858  df-tsms 21911  df-trg 21944  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-nm 22368  df-ngp 22369  df-nrg 22371  df-nlm 22372  df-ii 22661  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-esum 30064  df-oms 30328
This theorem is referenced by:  omsmeas  30359
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