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Theorem omssubadd 31457
Description: A constructed outer measure is countably sub-additive. Lemma 1.5.4 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omssubadd.a ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
omssubadd.b (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
omssubadd (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑄   𝑦,𝑅   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem omssubadd
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑒 𝑡 𝑢 𝑤 𝑓 𝑔 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubadd.b . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
2 nnenom 13336 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 8547 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 domentr 8556 . . . . . 6 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
51, 3, 4sylancl 586 . . . . 5 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
6 brdomi 8508 . . . . 5 (𝑋 ≼ ℕ → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
9 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝜑)
10 ctex 8512 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
129, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
13 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
14 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑋
1514nfesum1 31198 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)
16 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦
1715, 16nfel 2989 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ
1813, 17nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
19 nfv 1906 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑓:𝑋1-1→ℕ
2018, 19nfan 1891 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
21 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑒 ∈ ℝ+
2220, 21nfan 1891 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
2511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ V)
26 oms.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑄𝑉)
27 oms.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
28 omsf 31453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
29 oms.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
3029feq1i 6498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞) ↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3128, 30sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3226, 27, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑀:𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
34 omssubadd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 𝑄)
3527fdmd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
3635unieqd 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → dom 𝑅 = 𝑄)
3834, 37sseqtrrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 dom 𝑅)
3926uniexd 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 𝑄 ∈ V)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄 ∈ V)
41 ssexg 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 𝑄 𝑄 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
4234, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ V)
43 elpwg 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝐴 dom 𝑅))
4538, 44mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
4633, 45ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4746adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
4918, 25, 47, 48esumcvgre 31249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5049adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
5150adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
52 rpssre 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ ℝ
53 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
54 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
56 df-f1 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ ↔ (𝑓:𝑋⟶ℕ ∧ Fun 𝑓))
5756simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑓:𝑋⟶ℕ)
5958ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ)
6059nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
6155, 60rpexpcld 13596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6261adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ+)
6353, 62rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
6452, 63sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
6564adantl3r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
66 rexadd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
6751, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
689, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
69 dfrp2 30417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (0(,)+∞)
70 ioossicc 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7169, 70eqsstri 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 + ⊆ (0[,]+∞)
7271, 63sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7372adantl3r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
7468, 73xrge0addcld 30412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7567, 74eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
7652, 53sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7776adantl3r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ)
7852, 61sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
7978adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
8079adantl3r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℝ)
81 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℝ+)
8281rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 𝑒)
83 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℝ)
8560adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
8685adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑓𝑦) ∈ ℤ)
87 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < 2)
89 expgt0 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (2↑(𝑓𝑦)))
9177, 80, 82, 90divgt0d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
9265, 51ltaddposd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (0 < (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
9391, 92mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
9429fveq1i 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
9526adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑄𝑉)
9627adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
97 omsfval 31451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9895, 96, 34, 97syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑋) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
9994, 98syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
1009, 99sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
101100eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) = (𝑀𝐴))
102101breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ (𝑀𝐴) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
10393, 102mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
10475, 103jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
105 iccssxr 12807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
106 xrltso 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
107 soss 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
108105, 106, 107mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < Or (0[,]+∞)
109 biid 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( < Or (0[,]+∞) ↔ < Or (0[,]+∞))
110108, 109mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 < Or (0[,]+∞)
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → < Or (0[,]+∞))
112 omscl 31452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
11395, 96, 45, 112syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
114 xrge0infss 30410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑣 ∈ (0[,]+∞)(∀ ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ < 𝑣 ∧ ∀ ∈ (0[,]+∞)(𝑣 < → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < )))
116111, 115infglb 8942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑋) → ((((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
117116imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ (((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
11823, 24, 104, 117syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
119 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
120 esumex 31187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∈ V
121119, 120elrnmpti 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
122121anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
123 r19.41v 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
124122, 123bitr4i 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
125124exbii 1839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
126 df-rex 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
127 rexcom4 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ ∃𝑢𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
128125, 126, 1273bitr4i 304 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
129 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
130 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
131129, 130sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) → (𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
132131imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
133132exlimiv 1922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
134133reximi 3240 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}∃𝑢(𝑢 = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) ∧ 𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
135128, 134sylbi 218 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
136118, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
137 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω)
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) → 𝑧 ≼ ω))
139138ss2rabi 4050 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
140 rexss 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
142 unieq 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 𝑧 = 𝑥)
143142sseq2d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 𝑧𝐴 𝑥))
144 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑥 ≼ ω))
145143, 144anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
146145elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω)))
147146simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → (𝐴 𝑥𝑥 ≼ ω))
148147simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥)
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → 𝐴 𝑥))
150149anim1d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
151150reximdv 3270 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
152141, 151syl5bi 243 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
153136, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
154153ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
15522, 154ralrimi 3213 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
156 unieq 4838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → 𝑥 = (𝑔𝑦))
157156sseq2d 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (𝐴 𝑥𝐴 (𝑔𝑦)))
158 esumeq1 31192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔𝑦) → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
159158breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑔𝑦) → (Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
160157, 159anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑔𝑦) → ((𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) ↔ (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
161160ac6sg 9898 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))))
162161imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} (𝐴 𝑥 ∧ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
16312, 155, 162syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
1649ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
16538ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
166 iunss 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
167165, 166sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅)
16842ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
169 iunexg 7653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 𝐴 ∈ V) → 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
17011, 168, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V)
171 elpwg 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ V → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ( 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅 𝑦𝑋 𝐴 dom 𝑅))
173167, 172mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
17432, 173ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
175105, 174sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
176164, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
177 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
17825ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
179 fex 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑔 ∈ V)
180177, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 ∈ V)
181 rnexg 7603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
182 uniexg 7456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑔 ∈ V → ran 𝑔 ∈ V)
183180, 181, 1823syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ V)
184 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝜑)
18527ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
186 frn 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
187 ssrab2 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
188186, 187sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
189188unissd 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 𝒫 dom 𝑅)
190 unipw 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝒫 dom 𝑅 = dom 𝑅
191189, 190sseqtrdi 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
192191adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
19335adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → dom 𝑅 = 𝑄)
194192, 193sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔𝑄)
195194sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → 𝑐𝑄)
196185, 195ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑐 ran 𝑔) → (𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
197196ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
198184, 177, 197syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
199 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 ran 𝑔
200199esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ran 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
201183, 198, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ (0[,]+∞))
202105, 201sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*)
203 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ)
204203rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
205 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
206205rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
207204, 206xaddcld 12682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) ∈ ℝ*)
208186ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
209 sstr 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ⊆ 𝒫 dom 𝑅) → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
210187, 209mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅)
211 sspwuni 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran 𝑔 ⊆ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
212210, 211sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
213208, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅)
214 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑔 Fn 𝑋)
215214ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑔 Fn 𝑋)
216164, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ≼ ω)
217 fnct 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → 𝑔 ≼ ω)
218 rnct 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ≼ ω)
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
220 dfss3 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
221220biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
222 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≼ ω ↔ 𝑤 ≼ ω))
223222elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑤 ≼ ω))
224223simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → 𝑤 ≼ ω)
225224ralimi 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
226221, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} → ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω)
227 unictb 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ran 𝑔 ≼ ω ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝑔 𝑤 ≼ ω) → ran 𝑔 ≼ ω)
228219, 226, 227syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔 Fn 𝑋𝑋 ≼ ω) ∧ ran 𝑔 ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ran 𝑔 ≼ ω)
229215, 216, 208, 228syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ≼ ω)
230 ctex 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ≼ ω → ran 𝑔 ∈ V)
231 elpwg 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ran 𝑔 ∈ V → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
232229, 230, 2313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ran 𝑔 ⊆ dom 𝑅))
233213, 232mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
234 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝐴 (𝑔𝑦))
235234ralimi 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦))
236 fvssunirn 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
237236unissi 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔
238 sstr 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ (𝑔𝑦) ⊆ ran 𝑔) → 𝐴 ran 𝑔)
239237, 238mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 (𝑔𝑦) → 𝐴 ran 𝑔)
240239ralimi 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
241 iunss 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ↔ ∀𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
242240, 241sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑋 𝐴 (𝑔𝑦) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
243235, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
244243adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔)
245233, 244, 229jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
246 unieq 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = ran 𝑔 𝑧 = ran 𝑔)
247246sseq2d 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔))
248 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ran 𝑔 → (𝑧 ≼ ω ↔ ran 𝑔 ≼ ω))
249247, 248anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = ran 𝑔 → (( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
250249elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ( ran 𝑔 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ ( 𝑦𝑋 𝐴 ran 𝑔 ran 𝑔 ≼ ω)))
251245, 250sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
252 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑤 → (𝑅𝑐) = (𝑅𝑤))
253252cbvesumv 31201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)
254 esumeq1 31192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = ran 𝑔 → Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
255254rspceeqv 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( ran 𝑔 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
256251, 253, 255sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
257 esumex 31187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V
258 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
259258elrnmpt 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ V → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
260257, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) = Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))
261256, 260sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)))
262110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
263 omscl 31452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
26426, 27, 173, 263syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞))
265 xrge0infss 30410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
266264, 265syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑒 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) ¬ 𝑡 < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (0[,]+∞)(𝑒 < 𝑡 → ∃𝑢 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤))𝑢 < 𝑡)))
267262, 266inflb 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
26829fveq1i 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴)
269167, 36sseqtrd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝑦𝑋 𝐴 𝑄)
270 omsfval 31451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦𝑋 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
27126, 27, 269, 270syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘ 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
272268, 271syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < ))
273272breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
274273notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)), (0[,]+∞), < )))
275267, 274sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ ( 𝑦𝑋 𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑤𝑥(𝑅𝑤)) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
276164, 261, 275sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
277 biid 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
278276, 277sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴))
279 xrlenlt 10694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ∈ ℝ*) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
280176, 202, 279syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ↔ ¬ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) < (𝑀 𝑦𝑋 𝐴)))
281278, 280mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐))
282 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}
28322, 282nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
284 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
285283, 284nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
286 simp-6l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
287 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
288 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
28927ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
290 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
291 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑦𝑋)
292290, 291ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
293187, 292sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ 𝒫 dom 𝑅)
294293elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ dom 𝑅)
295289, 294fssdmd 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑔𝑦) ⊆ 𝑄)
296 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤 ∈ (𝑔𝑦))
297295, 296sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → 𝑤𝑄)
298289, 297ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (𝑔𝑦)) → (𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
299298ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
300 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔𝑦) ∈ V
301 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑤(𝑔𝑦)
302301esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑔𝑦) ∈ V ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
303300, 302mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
304299, 303syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
305286, 287, 288, 304syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
306305ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)))
307285, 306ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
30814esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
309178, 307, 308syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
310105, 309sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
311 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤(𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
312 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
313 fniunfv 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 Fn 𝑋 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
314312, 214, 3133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑦𝑋 (𝑔𝑦) = ran 𝑔)
315311, 314esumeq1d 31193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) = Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤))
31611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → 𝑋 ∈ V)
317300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑔𝑦) ∈ V)
318316, 317, 298esumiun 31252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 𝑦𝑋 (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
319315, 318eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
3209, 319sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
321320adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑤 ran 𝑔(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
322253, 321eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤))
323286, 288, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
324 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+))
325324, 288, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
326323, 325xrge0addcld 30412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
327326ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)))
328285, 327ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
32914esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
330178, 328, 329syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ (0[,]+∞))
331105, 330sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
332216, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑋 ∈ V)
333 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ))
334 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
335333, 334, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
336335adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
33765adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
338337adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
339 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 *𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
340339adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
34166breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ↔ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
342341biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
343336, 338, 340, 342syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
344343ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
345333simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝜑)
346 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω})
347345, 346, 334, 304syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ (0[,]+∞))
348105, 347sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ*)
349335rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
350337rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
351349, 350xaddcld 12682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*)
352 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ∈ ℝ* ∧ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ∈ ℝ*) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
353348, 351, 352syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
354344, 353syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → (Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
355354adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
356355ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (𝑦𝑋 → ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))))
357283, 356ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → ∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
358 ralim 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑦𝑋 ((𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
359357, 358syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) → (∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))
360359imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
361360r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
362285, 14, 332, 305, 326, 361esumlef 31220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
363164, 46sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
364285, 14, 332, 363, 325esumaddf 31219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))
365325ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑦𝑋 → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)))
366285, 365ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
36714esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
368178, 366, 367syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
369105, 368sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*)
370 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑓:𝑋1-1→ℕ)
371 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
372371rnex 7606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran 𝑓 ∈ V
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ∈ V)
37458frnd 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
375374adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ran 𝑓 ⊆ ℕ)
376375sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → 𝑧 ∈ ℕ)
37754a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
378 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
379378nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℤ)
380377, 379rpexpcld 13596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (2↑𝑧) ∈ ℝ+)
381380rpreccld 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ+)
38271, 381sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
383382adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
384376, 383syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝑓) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
385384ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
386 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧ran 𝑓
387386esumcl 31188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ran 𝑓 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
388373, 385, 387syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
389105, 388sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ*)
390 1xr 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ*
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ*)
39271sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0[,]+∞))
393392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,]+∞))
394 elxrge0 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
395393, 394sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒))
396 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑧(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
397 nnex 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℕ ∈ V
398397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℕ ∈ V)
399396, 398, 382, 374esummono 31212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)))
400 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑤 → (2↑𝑧) = (2↑𝑤))
401400oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑤 → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑𝑤)))
402 ioossico 12814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
40369, 402eqsstri 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + ⊆ (0[,)+∞)
404403, 381sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
405 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))))
406 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
407406oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (2↑𝑤) = (2↑𝑧))
408407oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑧)))
409 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ)
410 ovexd 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑧)) ∈ V)
411405, 408, 409, 410fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
412411adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))‘𝑧) = (1 / (2↑𝑧)))
413 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
414 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤))) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))
415414geo2lim 15219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℂ → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
416413, 415ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1
417416a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → seq1( + , (𝑤 ∈ ℕ ↦ (1 / (2↑𝑤)))) ⇝ 1)
418 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℝ
419418a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 1 ∈ ℝ)
420401, 404, 412, 417, 419esumcvgsum 31246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)))
421 geoihalfsum 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑧 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑧)) = 1
422420, 421syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ℕ(1 / (2↑𝑧)) = 1)
423399, 422breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
424423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1)
425 xlemul2a 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (𝑒 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑒)) ∧ Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) ≤ 1) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
426389, 391, 395, 424, 425syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) ≤ (𝑒 ·e 1))
42713, 19nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦(𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ)
428427, 21nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
42976recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑒 ∈ ℂ)
43078recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
431430adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ∈ ℂ)
432 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℂ
433432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ∈ ℂ)
434 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ≠ 0
435434a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 2 ≠ 0)
436433, 435, 60expne0d 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
437436adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (2↑(𝑓𝑦)) ≠ 0)
438429, 431, 437divrecd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
439 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ ℝ+
440439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → 1 ∈ ℝ+)
441440, 61rpdivcld 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ+)
44252, 441sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
443442adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ)
444 rexmul 12652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44576, 443, 444syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 · (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
446438, 445eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
447446ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦𝑋 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = (𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
448428, 447esumeq2d 31195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
44911ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ V)
45071, 441sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
451450adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑋) → (1 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ (0[,]+∞))
452403a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ℝ+ ⊆ (0[,)+∞))
453452sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
454449, 451, 453esummulc2 31240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 ·e (1 / (2↑(𝑓𝑦)))))
455 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑦(1 / (2↑𝑧))
456 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (2↑𝑧) = (2↑(𝑓𝑦)))
457456oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (1 / (2↑𝑧)) = (1 / (2↑(𝑓𝑦))))
45811adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → 𝑋 ∈ V)
45956simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun 𝑓)
46057feqmptd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
461460cnveqd 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → 𝑓 = (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
462461funeqd 6370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (Fun 𝑓 ↔ Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦))))
463459, 462mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋1-1→ℕ → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
464463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Fun (𝑦𝑋 ↦ (𝑓𝑦)))
465455, 427, 14, 457, 458, 464, 450, 59esumc 31209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
466 ffn 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑋⟶ℕ → 𝑓 Fn 𝑋)
467 fnrnfv 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑋 → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
46858, 466, 4673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ran 𝑓 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)})
469396, 468esumeq1d 31193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)) = Σ*𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑓𝑦)} (1 / (2↑𝑧)))
470465, 469eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
471470adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦))) = Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧)))
472471oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑦𝑋(1 / (2↑(𝑓𝑦)))) = (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))))
473448, 454, 4723eqtr2rd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e Σ*𝑧 ∈ ran 𝑓(1 / (2↑𝑧))) = Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))
474395simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ*)
475 xmulid1 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℝ* → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
476474, 475syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 ·e 1) = 𝑒)
477426, 473, 4763brtr3d 5088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
478164, 370, 205, 477syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒)
479 xleadd2a 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ∈ ℝ*𝑒 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ*) ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))) ≤ 𝑒) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
480369, 206, 204, 478, 479syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 Σ*𝑦𝑋(𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
481364, 480eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
482310, 331, 207, 362, 481xrletrd 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑦𝑋Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
483202, 310, 207, 322, 482xrletrd 12543 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → Σ*𝑐 ran 𝑔(𝑅𝑐) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
484176, 202, 207, 281, 483xrletrd 12543 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒))
485205rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → 𝑒 ∈ ℝ)
486 rexadd 12613 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
487203, 485, 486syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) +𝑒 𝑒) = (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
488484, 487breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω}) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
489488anasss 467 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦))))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
490489ex 413 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
491490exlimdv 1925 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑔(𝑔:𝑋⟶{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑧 ≼ ω} ∧ ∀𝑦𝑋 (𝐴 (𝑔𝑦) ∧ Σ*𝑤 ∈ (𝑔𝑦)(𝑅𝑤) < ((𝑀𝐴) + (𝑒 / (2↑(𝑓𝑦)))))) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
492163, 491mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
493492ralrimiva 3179 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒))
494 xralrple 12586 . . . . . . . 8 (((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
495175, 494sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
496495adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ (Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) + 𝑒)))
497493, 496mpbird 258 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑓:𝑋1-1→ℕ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
498497ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
499498exlimdv 1925 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1→ℕ → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴)))
5008, 499mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
501175adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ*)
502 pnfge 12513 . . . 4 ((𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ∈ ℝ* → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
503501, 502syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ +∞)
50446ralrimiva 3179 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50514esumcl 31188 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
50611, 504, 505syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
507 xrge0nre 12829 . . . 4 ((Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
508506, 507sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) = +∞)
509503, 508breqtrrd 5085 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴) ∈ ℝ) → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
510500, 509pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (𝑀 𝑦𝑋 𝐴) ≤ Σ*𝑦𝑋(𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   ciun 4910   class class class wbr 5057  cmpt 5137   Or wor 5466  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cen 8494  cdom 8495  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  +crp 12377   +𝑒 cxad 12493   ·e cxmu 12494  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  seqcseq 13357  cexp 13417  cli 14829  Σcsu 15030  Σ*cesum 31185  toOMeascoms 31448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-lmod 19565  df-scaf 19566  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tmd 22608  df-tgp 22609  df-tsms 22662  df-trg 22695  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-ii 23412  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-esum 31186  df-oms 31449
This theorem is referenced by:  omsmeas  31480
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