MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ondomen 9451
Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ondomen ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5061 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
21rspcev 3620 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥)
3 ac10ct 9448 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5 ween 9449 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
64, 5sylibr 235 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wex 1771  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057   We wwe 5506  dom cdm 5548  Oncon0 6184  cdom 8495  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-en 8498  df-dom 8499  df-card 9356
This theorem is referenced by:  numdom  9452  alephnbtwn2  9486  alephsucdom  9493  fictb  9655  cfslb2n  9678  gchaleph2  10082  hargch  10083  inawinalem  10099  rankcf  10187  tskuni  10193  1stcrestlem  21988  2ndcctbss  21991  2ndcomap  21994  2ndcsep  21995  tx1stc  22186  tx2ndc  22187  met2ndci  23059
  Copyright terms: Public domain W3C validator