MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ondomen 8820
Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ondomen ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem ondomen
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4627 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
21rspcev 3299 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥)
3 ac10ct 8817 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝐵𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
5 ween 8818 . 2 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
64, 5sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wrex 2909   class class class wbr 4623   We wwe 5042  dom cdm 5084  Oncon0 5692  cdom 7913  cardccrd 8721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-en 7916  df-dom 7917  df-card 8725
This theorem is referenced by:  numdom  8821  alephnbtwn2  8855  alephsucdom  8862  fictb  9027  cfslb2n  9050  gchaleph2  9454  hargch  9455  inawinalem  9471  rankcf  9559  tskuni  9565  1stcrestlem  21195  2ndcctbss  21198  2ndcomap  21201  2ndcsep  21202  tx1stc  21393  tx2ndc  21394  met2ndci  22267
  Copyright terms: Public domain W3C validator