MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onelon 5651
Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onelon ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon
StepHypRef Expression
1 eloni 5636 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordelon 5650 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
31, 2sylan 487 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  Ord word 5625  Oncon0 5626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-ord 5629  df-on 5630
This theorem is referenced by:  oneli  5738  ssorduni  6855  unon  6901  tfindsg2  6931  dfom2  6937  ordom  6944  onfununi  7303  onnseq  7306  dfrecs3  7334  tz7.48-2  7402  tz7.49  7405  oalim  7477  omlim  7478  oelim  7479  oaordi  7491  oalimcl  7505  oaass  7506  omordi  7511  omlimcl  7523  odi  7524  omass  7525  omeulem1  7527  omeulem2  7528  omopth2  7529  oewordri  7537  oeordsuc  7539  oelimcl  7545  oeeui  7547  oaabs2  7590  omabs  7592  omxpenlem  7924  hartogs  8310  card2on  8320  cantnfle  8429  cantnflt  8430  cantnfp1lem2  8437  cantnfp1lem3  8438  cantnfp1  8439  oemapvali  8442  cantnflem1b  8444  cantnflem1c  8445  cantnflem1d  8446  cantnflem1  8447  cantnflem2  8448  cantnflem3  8449  cantnflem4  8450  cantnf  8451  cnfcomlem  8457  cnfcom3lem  8461  cnfcom3  8462  r1ordg  8502  r1val3  8562  tskwe  8637  iscard  8662  cardmin2  8685  infxpenlem  8697  infxpenc2lem2  8704  alephordi  8758  alephord2i  8761  alephle  8772  cardaleph  8773  cfub  8932  cfsmolem  8953  zorn2lem5  9183  zorn2lem6  9184  ttukeylem6  9197  ttukeylem7  9198  ondomon  9242  cardmin  9243  alephval2  9251  alephreg  9261  smobeth  9265  winainflem  9372  inar1  9454  inatsk  9457  dfrdg2  30739  sltval2  30847  sltres  30855  nodenselem5  30878  nodenselem7  30880  nobndlem6  30890  nobndup  30893  dfrdg4  31022  ontopbas  31391  onpsstopbas  31393  onint1  31412
  Copyright terms: Public domain W3C validator