Theorem onelon 6211

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 6210	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  Ord word 6185  Oncon0 6186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-ord 6189  df-on 6190

This theorem is referenced by:  oneli  6293  ssorduni  7494  unon  7540  tfindsg2  7570  dfom2  7576  ordom  7583  onfununi  7972  onnseq  7975  dfrecs3  8003  tz7.48-2  8072  tz7.49  8075  oalim  8151  omlim  8152  oelim  8153  oaordi  8166  oalimcl  8180  oaass  8181  omordi  8186  omlimcl  8198  odi  8199  omass  8200  omeulem1  8202  omeulem2  8203  omopth2  8204  oewordri  8212  oeordsuc  8214  oelimcl  8220  oeeui  8222  oaabs2  8266  omabs  8268  omxpenlem  8612  hartogs  9002  card2on  9012  cantnfle  9128  cantnflt  9129  cantnfp1lem3  9137  cantnfp1  9138  oemapvali  9141  cantnflem1b  9143  cantnflem1c  9144  cantnflem1d  9145  cantnflem1  9146  cantnflem2  9147  cantnflem3  9148  cantnflem4  9149  cantnf  9150  cnfcomlem  9156  cnfcom3lem  9160  cnfcom3  9161  r1ordg  9201  r1val3  9261  tskwe  9373  iscard  9398  cardmin2  9421  infxpenlem  9433  infxpenc2lem2  9440  alephordi  9494  alephord2i  9497  alephle  9508  cardaleph  9509  cfub  9665  cfsmolem  9686  zorn2lem5  9916  zorn2lem6  9917  ttukeylem6  9930  ttukeylem7  9931  ondomon  9979  cardmin  9980  alephval2  9988  alephreg  9998  smobeth  10002  winainflem  10109  inar1  10191  inatsk  10194  dfrdg2  33035  sltval2  33158  sltres  33164  nosepeq  33184  nosupno  33198  nosupres  33202  nosupbnd1lem1  33203  nosupbnd2lem1  33210  nosupbnd2  33211  dfrdg4  33407  ontopbas  33771  onpsstopbas  33773  onint1  33792