MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 8727
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 7939 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 8724 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 701 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  Oncon0 5687  cen 7904  cardccrd 8713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-en 7908  df-card 8717
This theorem is referenced by:  oncardval  8733  oncardid  8734  cardnn  8741  iscard  8753  carduni  8759  nnsdomel  8768  harsdom  8773  pm54.43lem  8777  infxpenlem  8788  infxpidm2  8792  onssnum  8815  alephnbtwn  8846  alephnbtwn2  8847  alephordilem1  8848  alephord2  8851  alephsdom  8861  cardaleph  8864  infenaleph  8866  alephinit  8870  iunfictbso  8889  ficardun2  8977  pwsdompw  8978  infunsdom1  8987  ackbij2  9017  cfflb  9033  sdom2en01  9076  fin23lem22  9101  iunctb  9348  alephadd  9351  alephmul  9352  alephexp1  9353  alephsuc3  9354  canthp1lem2  9427  pwfseqlem4a  9435  pwfseqlem4  9436  pwfseqlem5  9437  gchaleph  9445  gchaleph2  9446  hargch  9447  cygctb  18225  ttac  37118  numinfctb  37189  isnumbasgrplem2  37190  isnumbasabl  37192
  Copyright terms: Public domain W3C validator