MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 9366
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8529 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 9363 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 683 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  Oncon0 6184  cen 8494  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-en 8498  df-card 9356
This theorem is referenced by:  oncardval  9372  oncardid  9373  cardnn  9380  iscard  9392  carduni  9398  nnsdomel  9407  harsdom  9412  pm54.43lem  9416  infxpenlem  9427  infxpidm2  9431  onssnum  9454  alephnbtwn  9485  alephnbtwn2  9486  alephordilem1  9487  alephord2  9490  alephsdom  9500  cardaleph  9503  infenaleph  9505  alephinit  9509  iunfictbso  9528  ficardun2  9613  pwsdompw  9614  infunsdom1  9623  ackbij2  9653  cfflb  9669  sdom2en01  9712  fin23lem22  9737  iunctb  9984  alephadd  9987  alephmul  9988  alephexp1  9989  alephsuc3  9990  canthp1lem2  10063  pwfseqlem4a  10071  pwfseqlem4  10072  pwfseqlem5  10073  gchaleph  10081  gchaleph2  10082  hargch  10083  cygctb  18941  ttac  39511  numinfctb  39581  isnumbasgrplem2  39582  isnumbasabl  39584  iscard4  39778  harsucnn  39781  harval3  39782  harval3on  39783  aleph1min  39794
  Copyright terms: Public domain W3C validator