MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onint0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onint0 6943
Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
onint0 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0
StepHypRef Expression
1 0ex 4750 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2 eleq1 2686 . . . . . . 7 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
31, 2mpbiri 248 . . . . . 6 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
4 intex 4780 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
53, 4sylibr 224 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6 onint 6942 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
75, 6sylan2 491 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴𝐴)
8 eleq1 2686 . . . . 5 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
98adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ( 𝐴𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
107, 9mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
1110ex 450 . 2 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12 int0el 4473 . 2 (∅ ∈ 𝐴 𝐴 = ∅)
1311, 12impbid1 215 1 (𝐴 ⊆ On → ( 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   cint 4440  Oncon0 5682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686
This theorem is referenced by:  cfeq0  9022
  Copyright terms: Public domain W3C validator