MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 7299
Description: A variant of onovuni 7298 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5281 . . . 4 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
213ad2ant2 1075 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
32oveq2d 6538 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)))
4 simp1 1053 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾𝑇)
5 mptexg 6362 . . . 4 (𝐾𝑇 → (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
6 rnexg 6962 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿) ∈ V → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
8 simp2 1054 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2604 . . . . . 6 (𝑧𝐾𝐿) = (𝑧𝐾𝐿)
109fmpt 6269 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
118, 10sylib 206 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
12 frn 5947 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
14 dmmptg 5530 . . . . . 6 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
15143ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
16 simp3 1055 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
1715, 16eqnetrd 2843 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5245 . . . . 5 (dom (𝑧𝐾𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) = ∅)
1918necon3bii 2828 . . . 4 (dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
2017, 19sylib 206 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
21 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
22 onovuni.2 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
2321, 22onovuni 7298 . . 3 ((ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
247, 13, 20, 23syl3anc 1317 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
25 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
2625eleq2d 2667 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
279, 26rexrnmpt 6257 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28273ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
29 eliun 4449 . . . 4 (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
30 eliun 4449 . . . 4 (𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3128, 29, 303bitr4g 301 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3231eqrdv 2602 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
333, 24, 323eqtrd 2642 1 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  wrex 2891  Vcvv 3167  wss 3534  c0 3868   cuni 4361   ciun 4444  cmpt 4632  dom cdm 5023  ran crn 5024  Oncon0 5621  Lim wlim 5622  wf 5781  (class class class)co 6522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-ov 6525
This theorem is referenced by:  oeoalem  7535  oeoelem  7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator