Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 7610
 Description: A variant of onovuni 7609 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5533 . . . 4 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
213ad2ant2 1129 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
32oveq2d 6830 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)))
4 simp1 1131 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾𝑇)
5 mptexg 6649 . . . 4 (𝐾𝑇 → (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7264 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿) ∈ V → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
8 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑧𝐾𝐿) = (𝑧𝐾𝐿)
109fmpt 6545 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
118, 10sylib 208 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
12 frn 6214 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
14 dmmptg 5793 . . . . . 6 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
15143ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
16 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
1715, 16eqnetrd 2999 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5497 . . . . 5 (dom (𝑧𝐾𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) = ∅)
1918necon3bii 2984 . . . 4 (dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
2017, 19sylib 208 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
21 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
22 onovuni.2 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
2321, 22onovuni 7609 . . 3 ((ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
247, 13, 20, 23syl3anc 1477 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
25 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
2625eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
279, 26rexrnmpt 6533 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28273ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
29 eliun 4676 . . . 4 (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
30 eliun 4676 . . . 4 (𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3128, 29, 303bitr4g 303 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3231eqrdv 2758 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
333, 24, 323eqtrd 2798 1 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  Oncon0 5884  Lim wlim 5885  ⟶wf 6045  (class class class)co 6814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817 This theorem is referenced by:  oeoalem  7847  oeoelem  7849
 Copyright terms: Public domain W3C validator