MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onsdominel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onsdominel 8053
Description: An ordinal with more elements of some type is larger. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onsdominel ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem onsdominel
StepHypRef Expression
1 ontri1 5716 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
21ancoms 469 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3 inex1g 4761 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝐶) ∈ V)
4 ssrin 3816 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶))
5 ssdomg 7945 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶) ∈ V → ((𝐵𝐶) ⊆ (𝐴𝐶) → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
63, 4, 5syl2im 40 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → (𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶)))
7 domnsym 8030 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) ≼ (𝐴𝐶) → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶))
86, 7syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
102, 9sylbird 250 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)))
1110con4d 114 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶) → 𝐴𝐵))
12113impia 1258 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ (𝐴𝐶) ≺ (𝐵𝐶)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  Oncon0 5682  cdom 7897  csdm 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902
This theorem is referenced by:  fin23lem27  9094
  Copyright terms: Public domain W3C validator