MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssnum 8808
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 6909 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 ssorduni 6933 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
3 elong 5693 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
43biimpar 502 . . . 4 (( 𝐴 ∈ V ∧ Ord 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
51, 2, 4syl2an 494 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ On)
6 suceloni 6961 . . 3 ( 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
7 onenon 8720 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ dom card)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → suc 𝐴 ∈ dom card)
9 onsucuni 6976 . . 3 (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
109adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
11 ssnum 8807 . 2 ((suc 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
128, 10, 11syl2anc 692 1 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560   cuni 4407  dom cdm 5079  Ord word 5684  Oncon0 5685  suc csuc 5687  cardccrd 8706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-card 8710
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8912  cfeq0  9023  cfsuc  9024  cff1  9025  cfflb  9026  cflim2  9030  cfss  9032  cfslb  9033
  Copyright terms: Public domain W3C validator